通過3SAT證明支配集是NPC問題

往期文章：

1. NPC簡介

2. NP-hard問題證明

3. NPC 證明（一）

4. NPC 證明（二）

本文介紹如何通過3SAT歸約，進而證明支配集是NPC問題。

3SAT問題

$\rightarrow$ 3-Satisfiability (3Sat)

給定一個有窮的布爾變量集合$X=\lbrace x_1,x_2,\ldots,x_n \rbrace$，變量$x_i$取值爲1或者0，另有一組子句$C=\lbrace c_1,c_2,\ldots,c_m \rbrace$，$\mathbb{C}=c_1\wedge c_2 \wedge \ldots \wedge c_m$，$c_i = x_j \vee x_k \vee x_l$。求是否存在一組取值使得$\mathbf{C}$爲真，即任意$c_i$爲真。

Dominating Set(支配集)

$\rightarrow$ Dominating Set

給定圖$G$，正整數$k$，是否存在dominating set的大小最多爲$k$。
Dominating Set $D$是點集$V$的一個子集，並且對於不在$D$中的點$v$，至少存在一條邊$(u,v)\in E$，$u\in D$。

解題思路：

我們知道將支配集歸約到3SAT進而證明3SAT是NPC是很容易的。CSCI5320的習題裏，要進行相反方向的歸約，將3SAT的問題轉化成支配集的問題進行求解，相對來說比較難。

1. 對於每個變量$x_i$，我們都構造兩個點，$x_i$和$\overline{x_i}$，以及一條邊$(x_i,\overline{x_i})$
2. 對於$c_i$當中的三個變量$x_j \vee x_k \vee x_l$，我們構造一個點$c_i$，三條邊$(x_j,c_i)$,$(x_k,c_i)$和$(x_l,c_i)$。如果布爾表達式取反，那麼我們可以對應的連接$(\overline{x_j},c_i)$。
3. 最關鍵的一步，我們如何確保$x_i$,$\overline{x_i}$恰好有且僅有一個點落在支配集裏。我們增加一個點$y_i$，並且添加兩條邊$(x_i,y_i)$與$(\overline{x_i},y_i)$。

那麼我們可以知道$\mathbb{C}$可滿足當且僅當上述構造的圖中有一個大小$m$的支配集。

證明：

1. 當$\mathbb{C}$可滿足時，顯而易見，對應取真的變量構成一個支配集。
2. 當上述構造的圖中有一個大小爲$m$的支配集時，因爲$(x_i,\overline{x_i},y_i)$三個點當中最少有一個點在支配集當中，所以支配集的大小最小爲$m$。那麼我們可以得到結論$(x_i,\overline{x_i},y_i)$三個點恰好有且僅有一個點在支配集當中。當$y_i$在支配集當中時，我們總可以由$(x_i,\overline{x_i})$當中的一個點來替換。那麼由此便可得到一個令$\mathbb{C}$可滿足的取值。