【算法】字符串匹配1 BF算法 RK算法

字符串匹配有多種方法，這裏先講最簡單的兩種算法： BF算法 和 RK算法，複雜度也相對較高。
它們均爲單模式串匹配的算法，也就是一個串跟一個串進行匹配。

BF算法

簡介

Brute Force，暴力匹配算法，也叫樸素匹配算法。
比較簡單、好懂，但相應的性能也不高。

在字符串 A 中查找字符串 B ，那字符串 A 就是主串，字符串 B 就是模式串。
主串的長度記作 n ，模式串的長度記作 m ，所以n>m 。

算法思想

在主串中，檢查起始位置分別是 0 、1、 2…n-m 且長度爲 m 的 n-m+1 個子串，看有沒有跟模式串匹配的。

時間複雜度

極端情況下，要比較 n-m+1 次，每次需要比對 m 個字符。所以最壞情況時間複雜度O(n*m)。

常用原因

雖然複雜度高，但實際開發中很常用，原因如下：

• 大部分情況下，模式串和主串的長度都不會太長。每次模式串與主串中的子串匹配時，當中途遇到不能匹配的字符的時候，就可以就停止了，不需要把 m 個字符都比對；
• 算法思想簡單，代碼實現簡單。簡單意味着不容易出錯，如果有 bug 也容易暴露和修復。

RK算法

Rabin-Karp，由兩位發明者名字而來。可以看做是BF的升級版。

算法思想

通過哈希算法對主串中的 n-m+1 個子串分別求哈希值，然後逐個與模式串的哈希值比較大小。
如果某子串哈希值與模式串相等，那就說明對應子串和模式串匹配（先不考慮衝突）。
哈希值是一個數字，數字之間比較是否相等是非常快速。

提高哈希計算效率

哈希算法計算子串的哈希值時，仍需要遍歷子串中的每個字符，需要改進。

改進方法： 要匹配的字符串的字符集中只包含 K 個字符，可以用一個 K 進制數來表示一個子串，這個 K 進制數轉化成十進制數，作爲子串的哈希值。

舉例解釋上述方法。

假如處理的字符串只包含 a-z 這26 個小寫字母，那用二十六進制來表示一個字符串。
我們把26 個字符映射到 0~25 這 26 個數字。

再把二十六進制數轉化成十進制數，進位從 10 改成 26 就可以。

這種計算方法，在主串中相鄰兩個子串的哈希值的計算公式有一定關係。

規律：相鄰兩個子串 s[i-1] 和 s[i] （ i 表示子串在主串中的起始位置，子串的長度都爲 m ），對應的哈希值計算公式有交集。
公式表示如下：

事先計算好 $26^0$ 、 $26^1$ 、 $26^2$……$26^{m-1}$ ，存儲在長度爲 $m$ 的數組中，公式中的 “ 次方 ” 就對應數組的下標。

時間複雜度

第一部分：通過設計特殊的哈希算法，只需掃描一遍主串就能計算出所有子串的哈希值，所以時間複雜度是 O(n) 。
第二部分：需要比較 n-m+1 個子串的哈希值，比較的複雜度是O(1)，總的複雜度也是 O(n)。

所以，RK 算法整體的時間複雜度就是O(n) 。

解決衝突問題

上面的哈希算法沒有衝突，但是指數計算可能導致哈希值結果非常大，超出計算機表示範圍。
解決方法就是允許衝突，從而減小計算範圍。

允許衝突的哈希算法很多，舉一個例子。

將每一個字母從小到大對應一個素數，把字符串中每個字母對應的數字相加，得到的和作爲哈希值。

怎麼解決衝突呢？其實很簡單。
比較完哈希值後，
不相等的話，則無須比較，肯定不匹配；
相等的話，把兩個字符串本身再比較一次即可。

這種方法前提是要控制衝突概率，達到可以接受的狀態，否則算法會退化的厲害，變成 O(n*m) 。

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