最短路徑算法——Dijkstra介紹

個人心得體會：理解這種或這類算法，可以先從小規模的問題入手，並逐漸推廣到問題變複雜的情況，這樣理解起來也可以更方便和透徹。——和數學歸納法很相似。

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圖簡介

以使用地圖APP爲例，假設你想前往某個目的地，此間有很多條線路可以選，如地鐵、不同的公交換乘方案。而不同的方案所需換乘的次數不同。那麼怎麼才能選出換乘次數最少的方案呢？

有向圖：節點和節點之間的連接是有方向的。

無向圖：節點和節點之間相互聯繫。

上文提到的最優換乘方案選擇，即可以用有向圖進行抽象（總不能在同樣的兩個公交站之間來回換乘吧）。根據這個圖，可以做的事：1. 觀察是否有從“雙子峯”前往“金門大橋”的路徑，2. 最短路徑是哪條。

此時圖是爲無權重的，即去每條路線的cost都相同。那麼當考慮加權呢，即乘坐不同公交耗費時間不同，怎麼來尋找前往目的地的最短時間？就需要適用於加權圖的搜索算法出場，接下來介紹Dijkstra算法。

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Dijkstra

主要解決的問題是給定起點S和目標點E，如何得出S到E的最短路徑。算法主要思想是

帶權的有向圖

爲什麼不能處理負權邊？

可能出現這樣一種情況：因爲dijktra算法每次都先尋找前往節點的最小值（正數），並將節點加入已訪問集合之中，之後不再對其進行更新。

舉個例子，目標：尋找A-C的最短路徑。使用Dijkstra算法時，比較從A->B和A->C的開銷，顯然A->C的更小，於是選擇到C的路徑，並將C處理成處理過的節點。到這裏發現了什麼問題呢，A->B->C不是更短嗎？就是負權邊的情況。

Dijkstra算法實現步驟

1. 尋找某點開始，相鄰的最短路徑；
2. 選另一條路徑，比較同樣前往此節點的，更新開銷最小的，並更新路徑；
3. 重複此步驟，直到最後一個節點；
4. 計算最終路徑。

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示例

# coding: utf-8
# 以《圖解算法》7.5中的圖爲例

def graph_gen():
    graph = {}
    graph['start'] = {}
    graph['start']['a'] = 6
    graph['start']['b'] = 2
    graph['b'] = {}
    graph['b']['a'] = 3
    graph['b']['end'] = 5
    graph['a'] = {}
    graph['a']['end'] = 1
    graph['end'] = {}
    return graph

def cost_gen():
    inifity = float('inf')
    costs = {}
    costs['a'] = 6
    costs['b'] = 2
    costs['end'] = inifity
    return costs

def parent_gen():
    parent = {}
    parent['a'] = 'start'
    parent['b'] = 'start'
    parent['end'] = None
    return parent

def find_lowest_cost_node(costs, processed):
    lowest_cost = float('inf')
    lowest_node = None
    for key in costs.keys():
        if key not in processed and lowest_cost > costs[key]:
                lowest_cost = costs[key]
                lowest_node = key
    return lowest_node

def Dijkstra(graph, costs, relation):
    processed = []
    node = find_lowest_cost_node(costs, processed)
    while node is not None:
        cost = costs[node]
        neighbors = graph[node]
        for n in neighbors.keys():
            new_cost = cost + neighbors[n]
            if costs[n] > new_cost:
                costs[n] = new_cost
                relation[n] = node
        processed.append(node)
        node = find_lowest_cost_node(costs, processed)
    return relation

def output(realtion):
    begin = relation['end']
    str_ = 'end--'

    while begin is not None:
        for key, value in relation.items():
            if key == begin:
                str_ += begin + '__'
                begin = value
                break
        else:
            begin = None
    print str_ + 'start'

relation = Dijkstra(graph_gen(), cost_gen(), parent_gen())
# print relation
output(relation)