幾何變換

幾何變換詳解
在三維圖形學中，幾何變換大致分爲三種，平移變換（Translation），縮放變換（Scaling），旋轉變換（Rotation）。以下討論皆針對DirectX，所以使用左手座標系。

平移變換

將三維空間中的一個點[x, y, z, 1]移動到另外一個點[x’, y’, z’, 1]，三個座標軸的移動分量分別爲dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即

x’ = x + Tx

y’ = y + Ty

z’ = z + Tz

平移變換的矩陣如下。

縮放變換

將模型放大或者縮小，本質也是對模型上每個頂點進行放大和縮小（頂點座標值變大或變小），假設變換前的點是[x, y, z, 1]，變換後的點是[x’, y’, z’, 1]，那麼

x’ = x * Sx

y’ = y * Sy

z’ = z * Sz

縮放變換的矩陣如下。

旋轉變換

這是三種變換中最複雜的變換，這裏只討論最簡單的情況，繞座標軸旋轉，關於繞任意軸旋轉，在後續的隨筆中介紹。

繞X軸旋轉

繞X軸旋轉時，頂點的x座標不發生變化，y座標和z座標繞X軸旋轉θ度，旋轉的正方向爲順時針方向（沿着旋轉軸負方向向原點看）。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x’, y’, z’, 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。關於旋轉的正方向，OpenGL與多數圖形學書籍規定旋轉正方向爲逆時針方向（沿着座標軸負方向向原點看），比如Computer Graphics C Version，p409。

繞Y軸旋轉

繞Y軸旋轉時，頂點的y座標不發生變化，x座標和z座標繞Y軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x’, y’, z’, 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。

繞Z軸旋轉

繞Z軸旋轉時，頂點的z座標不發生變化，x座標和y座標繞Z軸旋轉θ度。[x, y, z, 1]表示變換前的點，[x’, y’, z’, 1]表示變換後的點。變換矩陣如下。

繞座標軸旋轉的矩陣推導
上面三個旋轉矩陣是如何得來的呢？我們推導一下，首先看一下二維的情況，再擴展到三維即可。實際上上面三種繞座標軸旋轉的情況屬於特殊的二維旋轉，比如繞Z軸旋轉，相當於在與XOY平面上繞原點做二維旋轉。

假設點P(x, y)是平面直角座標系內一點，其到原點的距離爲r，其與X軸的夾角爲A，現將點P繞原點旋轉θ度，得到點P’(x’, y’)，P’與X軸的夾角爲B，則A = B - θ。（注意，在二維座標中，逆時針旋轉時角度爲正，順時針旋轉時角度爲負，下圖中由P旋轉到P’，角度爲θ，若是由P’轉到P，則角度爲-θ）。

於是可得下面的轉換方程

（式一）

寫成矩陣的形式就是

求得旋轉矩陣爲

由於這裏使用齊次座標，所以還需加上一維，最終變成如下形式（繞Z軸旋轉矩陣）

和前面給出的繞Z軸旋轉矩陣完全吻合。

對於繞X軸旋轉的情況，我們只需將式一中的x用y替換，y用z替換，z用x替換即可。替換後得到
(式二)
對應的旋轉矩陣爲（繞X軸旋轉矩陣）：

對於繞Y軸旋轉的情況，只需對式二做一次同樣的替換即可，的到的變換方程爲

對應的變換矩陣爲（繞Y軸旋轉矩陣）：

逆矩陣

平移變換矩陣的逆矩陣與原來的平移量相同，但是方向相反。

旋轉變換矩陣的逆矩陣與原來的旋轉軸相同但是角度相反。

縮放變換的逆矩陣正好和原來的效果相反，如果原來是放大，則逆矩陣是縮小，如果原來是縮小，則逆矩陣是放大。

作者：zdd
出處：http://www.cnblogs.com/graphics/

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動動小手

#include "rotate.h"

bool rotate_Z(pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud, pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud_rotated, float theta)
{
	/* Reminder: how transformation matrices work :
	|-------> This column is the translation
	| cos(theta) -sin(theta) 0 x |  \
	| sin(theta)  cos(theta) 0 y |   }-> The identity 3x3 matrix (Z axis) on the left
	| 0           0          1 z |  /
	| 0           0          0 1 |    -> We do not use this line (and it has to stay 0,0,0,1)

	This is the "manual" method, perfect to understand but error prone !
	*/

	Eigen::Matrix4f transform = Eigen::Matrix4f::Identity();
	//float theta = M_PI / 2;
	transform(0, 0) = cos(theta);
	transform(0, 1) = -sin(theta);
	transform(1, 0) = sin(theta);
	transform(1, 1) = cos(theta);
	pcl::transformPointCloud(*cloud, *cloud_rotated, transform);
	
	return true;
}

bool rotate_X(pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud, pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud_rotated, float theta)
{
	/* Reminder: how transformation matrices work :
	|-------> This column is the translation
	| 1 0           0          x |  \
	| 0 cos(theta)  sin(theta) y |   }-> The identity 3x3 matrix (X axis) on the left
	| 0 -sin(theta) cos(theta) z |  /
	| 0 0           0          1 |    -> We do not use this line (and it has to stay 0,0,0,1)

	This is the "manual" method, perfect to understand but error prone !
	*/

	Eigen::Matrix4f transform = Eigen::Matrix4f::Identity();
	//float theta = M_PI / 2;
	transform(1, 1) = cos(theta);
	transform(1, 2) = sin(theta);
	transform(2, 1) = -sin(theta);
	transform(2, 2) = cos(theta);
	pcl::transformPointCloud(*cloud, *cloud_rotated, transform);

	return true;
}

bool rotate_Y(pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud, pcl::PointCloud<pcl::PointXYZ>::Ptr cloud_rotated, float theta)
{
	/* Reminder: how transformation matrices work :
	|-------> This column is the translation
	| cos(theta) 0          -sin(theta) x |  \
	| 0          1          0           y |   }-> The identity 3x3 matrix (Y axis) on the left
	| sin(theta) 0          cos(theta)  z |  /
	| 0          0          0           1 |    -> We do not use this line (and it has to stay 0,0,0,1)

	This is the "manual" method, perfect to understand but error prone !
	*/

	Eigen::Matrix4f transform = Eigen::Matrix4f::Identity();
	//float theta = M_PI / 2;
	transform(0, 0) = cos(theta);
	transform(0, 2) = -sin(theta);
	transform(2, 0) = sin(theta);
	transform(2, 2) = cos(theta);
	pcl::transformPointCloud(*cloud, *cloud_rotated, transform);

	return true;
}