入門-動態規劃

1. 分梨

題目描述
小明非常喜歡吃梨，有一天他得到了ACMCLUB送給他的一筐梨子。由於他比較仗義，就打算把梨子分給好朋友們吃。現在他要把M個梨子放到N個盤子裏面（我們允許有的盤子爲空），你能告訴小明有多少種分法嗎？（請注意，例如有三個盤子，我們將5,1,1和1,1,5，視爲同一種分法）

輸入
輸入包含多組測試樣例。每組輸入的第一行是一個整數t。
接下來t行，每行輸入兩個整數M和N，代表有M個梨和N個盤子。（M和N均大於等於0）

輸出
對於每對輸入的M和N，輸出有多少種方法。

樣例輸入

1
7 3

樣例輸出

8

解析 遞歸分配

M個梨， N個盤子的分法
dp(m, n){
	if (只有一個盤子 || 沒有梨)
		只有一種分法；
	if (盤子N比梨M多)
		則最多用M個盤子, dp(m,n) = dp(m,m)；
	else 
		如果每個至少一個梨， 則dp(m-n, n)
		如果有一個盤子爲空， 則dp(m, n-1)
		dp(m, n) = dp(m, n-1) + dp(m-n, n)

}

AC

#include<stdio.h>
int c(int x,int y)
{       
	if(y == 1 || x == 0)
        	return 1;
	if(x<y)      
    		return c(x,x);
	else
    		return c(x,y-1)+c(x-y,y);               
}

int main()
{
	int t,n,m;
 
    while(scanf("%d",&t)!=EOF)
    {
    	while(t--)
        {
        	scanf("%d%d",&m,&n);
            printf("%d\n",c(m,n));
        }
    }       
    return 0;
}

2. 最大公共子序列

見之前的博客

3. 最大子段和

Problem Description
Given a sequence a[1],a[2],a[3]…a[n], your job is to calculate the max sum of a sub-sequence. For example, given (6,-1,5,4,-7), the max sum in this sequence is 6 + (-1) + 5 + 4 = 14.

Input
The first line of the input contains an integer T(1<=T<=20) which means the number of test cases. Then T lines follow, each line starts with a number N(1<=N<=100000), then N integers followed(all the integers are between -1000 and 1000).

Output
For each test case, you should output two lines. The first line is “Case #:”, # means the number of the test case. The second line contains three integers, the Max Sum in the sequence, the start position of the sub-sequence, the end position of the sub-sequence. If there are more than one result, output the first one. Output a blank line between two cases.

Sample Input

2
5 6 -1 5 4 -7
7 0 6 -1 1 -6 7 -5

Sample Output

Case 1:
14 1 4

Case 2:
7 1 6

解析

sum, maxsum = M[n-1]
for auto m : M[]:
	sum = max(sum+m, m)
	if sum >= maxsum:
		maxsum = sum

AC

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int M[100005], arr[100005];
int l, r;
int maxSubArr(int D[], int n){
	int i, sum = 0, maxsum = D[n-1];
	l = n-1;
	for (i=n-1; i>=0; i--){
		if (sum > 0){
			sum = sum + D[i];
		}else{
			sum = D[i];
		}
		if (sum >= maxsum) { //If there are more than one result, output the first one.
			maxsum = sum;
			l = i;
		}
	}
	return maxsum;
}

int main(){
 	int T, N;
 	cin>>T;
 	for (int t=1; t<=T; t++){
 		cin>>N;
 		for (int i=0; i<N; i++){
 			cin>>M[i];
		}
		int ans = maxSubArr(M, N);
		cout<<"Case "<<t<<":"<<endl;
		int s = 0;
		for (int i = l; i<N; i++){
			s += M[i];
			if (s == ans){
				r=i;
				break;
			}
		}
		cout<<ans<<" "<<l+1<<" "<<r+1<<endl;
		if (t<T){
			cout<<endl;
		}
	}
 	return 0;
 } 

4. 最大子陣和

Problem Description
Given a two-dimensional array of positive and negative integers, a sub-rectangle is any contiguous sub-array of size 1 x 1 or greater located within the whole array. The sum of a rectangle is the sum of all the elements in that rectangle. In this problem the sub-rectangle with the largest sum is referred to as the maximal sub-rectangle.

As an example, the maximal sub-rectangle of the array:

0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

is in the lower left corner:

9 2
-4 1
-1 8

and has a sum of 15.

Input
The input consists of an N x N array of integers. The input begins with a single positive integer N on a line by itself, indicating the size of the square two-dimensional array. This is followed by N 2 integers separated by whitespace (spaces and newlines). These are the N 2 integers of the array, presented in row-major order. That is, all numbers in the first row, left to right, then all numbers in the second row, left to right, etc. N may be as large as 100. The numbers in the array will be in the range [-127,127].

Output
Output the sum of the maximal sub-rectangle.

Sample Input

4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2

Sample Output

15

解析

這一題可以藉助上一題的思路，把求最大子陣轉化爲求最大子段和，也就是變成一維情況。
(以第一行最爲開始)先求第一行的最大和;將第二行數據加到第一行，再求此時的最大值;再將下一行加上去，求最大值.....;
.最終得到第一列到最後一列的最大值；還要計算第二行到最後一行的最大和，第三行到最後一行的最大和；

fun(){
//求最大子段和
}

for i = 0 : N #第i行到j行最大子陣和
	# 第一次循環結束，我們得到的是第一行到第N行的N x M的最大子陣和（N是行數，M是列數，M由fun（）決定）
	# 第二次循環結束，我們得到的是第二行到第N行的N-1 x M的最大子陣和
	for j = i : N 
		把第j行加到array上：arry[k] = M[j][k]
		計算array的最大子段和：fun(array)
	
		
	

AC

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

int M[105][105], arr[105];
int maxSubArr(int D[], int n){
	int sum=0, maxsum=D[0];
	for (int i=0; i<n; i++){
		if (sum>0){
			sum = sum + D[i];
		}else{
			sum = D[i];
		}
		if (sum > maxsum) maxsum = sum;
	}
	return maxsum;
}

int main(){
 	int N;
 	while(scanf("%d", &N) != EOF){//注意輸入
 		for (int i=0; i<N; i++){
	 		for (int j=0; j<N; j++){
	 			cin>>M[i][j];
			}
		}
		int maxsubrec = M[0][0];
		for (int i=0; i<N; i++){
			memset(arr, 0, sizeof(arr));
			for (int j=i; j<N; j++){
				for (int k=0; k<N; k++){
					arr[k] += M[j][k];
				}
				int maxsubarr = maxSubArr(arr, N);
				if (maxsubarr > maxsubrec) maxsubrec = maxsubarr;
			} 
		}
		cout<<maxsubrec<<endl;
	}
 	return 0;
 } 

5. 母牛的故事

Problem Description
有一頭母牛，它每年年初生一頭小母牛。每頭小母牛從第四個年頭開始，每年年初也生一頭小母牛。請編程實現在第n年的時候，共有多少頭母牛？

Input
輸入數據由多個測試實例組成，每個測試實例佔一行，包括一個整數n(0<n<55)，n的含義如題目中描述。
n=0表示輸入數據的結束，不做處理。

Output
對於每個測試實例，輸出在第n年的時候母牛的數量。
每個輸出佔一行。

Sample Input

2
4
5
0

Sample Output

2
4
6

解析

 f(n) = f(n-1) + f(n-3)

AC

#include<stdio.h>
//遞歸 
 int sum(int n)
{
    if (n <= 4) return n;
    else return (sum(n-1) + sum(n - 3));
}
int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n) != EOF&&n!=0)
        printf("%d\n", sum(n));
    getchar();
    return 0;
}

6. 數塔

Problem Description
在講述DP算法的時候，一個經典的例子就是數塔問題，它是這樣描述的：

有如下所示的數塔，要求從頂層走到底層，若每一步只能走到相鄰的結點，則經過的結點的數字之和最大是多少？

已經告訴你了，這是個DP的題目，你能AC嗎?

Input
輸入數據首先包括一個整數C,表示測試實例的個數，每個測試實例的第一行是一個整數N(1 <= N <= 100)，表示數塔的高度，接下來用N行數字表示數塔，其中第i行有個i個整數，且所有的整數均在區間[0,99]內。

Output
對於每個測試實例，輸出可能得到的最大和，每個實例的輸出佔一行。

Sample Input

1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

解析

遞推公式：DP[i][j] = M[i][j] + max(DP[i+1][j], DP[i+1][j+1])
自底向上計算到塔頂，得到的結果即爲最大和

AC

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int a[105][105];
    int t, n, i, j;
    while(cin>>t)
    {
        while(t--)
        {
            cin>>n;
            memset(a,0,sizeof(a));
            for(i=0; i<n; i++)
                for(j=0; j<=i; j++)
                    cin>>a[i][j];
            for(i=n-2; i>=0; i--)
                for(j=0; j<=i; j++)
                    a[i][j] = a[i][j] + max(a[i+1][j], a[i+1][j+1]);
            cout<<a[0][0]<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

7. 一隻小蜜蜂

Problem Description
有一只經過訓練的蜜蜂只能爬向右側相鄰的蜂房，不能反向爬行。請編程計算蜜蜂從蜂房a爬到蜂房b的可能路線數。
其中，蜂房的結構如下所示。

Input
輸入數據的第一行是一個整數N,表示測試實例的個數，然後是N 行數據，每行包含兩個整數a和b(0<a<b<50)。

Output
對於每個測試實例，請輸出蜜蜂從蜂房a爬到蜂房b的可能路線數，每個實例的輸出佔一行。

Sample Input

2
1 2
3 6

Sample Output

1
3

解析

思路1：局部最優解得到全局最優解
蜂房5路線 = 蜂房3的路線 + 蜂房4的路線
蜂房6路線 = 蜂房4的路線 + 蜂房5的路線
。。。
蜂房n路線 = 蜂房n-2的路線 + 蜂房n-1的路線
斐波那契數列

思路2：枚舉
1->2 (1種)：1->2;
1->3 (2種): 1->2->3; 1->3;
1->4 (3種): 1->2->4; 1->2->3->4; 1->3->4;
1->5 (5種): 1->2->3->5; 1->3->5; 1->2->4->5; 1->2->3->4->5; 1->3->4->5;
1->6 (8種): 1->4(3種)->6; 1->5(5種)->6;
得斐波那契數列

唯一要注意的就是數比較大，得用long long類型

AC

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	long long ans = 0, pre = 0;
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		int a, b;
		cin>>a>>b;
		for (int i=2; i <= b-a+1; i++){
			if (i==2) {
				pre = 0;
				ans = 1;
			}
			else if (i==3) {
				pre = 1;
				ans = 2; continue;
			}else{
				ans = pre + ans;
				pre = ans - pre;
			}
		}
		cout << ans << endl;
	} 
	return 0; 
}

8. 折線分割平面

Problem Description
我們看到過很多直線分割平面的題目，今天的這個題目稍微有些變化，我們要求的是n條折線分割平面的最大數目。比如，一條折線可以將平面分成兩部分，兩條折線最多可以將平面分成7部分，具體如下所示。

Input
輸入數據的第一行是一個整數C,表示測試實例的個數，然後是C 行數據，每行包含一個整數n(0<n<=10000),表示折線的數量。

Output
對於每個測試實例，請輸出平面的最大分割數，每個實例的輸出佔一行。

Sample Input

2
1
2

Sample Output

2
7

解析

n條直線最多分平面問題
題目大致如:n條直線，最多可以把平面分爲多少個區域。
析:可能你以前就見過這題目，這充其量是一道初中的思考題。但一個類型的題目還是從簡單的入手，才容易發現規律。
當有n-1條直線時，平面最多被分成了f（n-1）個區域。
則第n條直線要是切成的區域數最多，就必須與每條直線相交且不能有同一交點。 
這樣就會得到n-1個交點。
這些交點將第n條直線分爲2條射線和n-2條線段。
而每條射線和線斷將已有的區域一分爲二。這樣就多出了2+（n-2）個區域。
故：f(n)=f(n-1)+n
=f(n-2)+(n-1)+n
……
=f(1)+1+2+……+n
=n(n+1)/2+1

根據直線分平面可知，由交點決定了射線和線段的條數，進而決定了新增的區域數。
當n-1條折線時，區域數爲f（n-1）。
爲了使增加的區域最多，則折線的兩邊的線段要和n-1條折線的邊，即2*（n-1）條線段相交。
那麼新增的線段數爲4*（n-1），射線數爲2。
但要注意的是，折線本身相鄰的兩線段只能增加一個區域。
故：f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1
=f(n-1)+4(n-1)+1
=f(n-2)+4(n-2)+4(n-1)+2
……
=f(1)+4+4*2+……+4(n-1)+(n-1)
=2n^2-n+1

AC

#include<iostream>
using namespace std;
 
int main()
{
	int num,k;
	cin>>num;
	while(num--)
	{
		cin>>k;
		cout<<2*k*k-k+1<<endl;
	}
	return 0;
}

9. 獻給杭電五十週年校慶的禮物

Problem Description
今年是我們杭電建校五十週年，這是一個值得祝福的日子。我們該送給母校一個怎樣的禮物呢？對於目前的大家來說，最好的禮物當然是省賽中的好成績，我不能參賽，就送給學校一個DOOM III球形大蛋糕吧，這可是名牌，估計要花掉我半年的銀子呢。

想象着正式校慶那一天，校長親自操刀，把這個大蛋糕分給各地趕來祝賀的校友們，大家一定很高興，呵呵，流口水了吧…

等一等，吃蛋糕之前先考大家一個問題：如果校長大人在蛋糕上切了N刀（校長刀法極好，每一刀都是一個絕對的平面），最多可以把這個球形蛋糕切成幾塊呢？

做不出這個題目，沒有蛋糕吃的！
爲-了-母-校-，爲-了-蛋-糕-（不是爲了DGMM，楓之羽最會浮想聯翩…），加-油-！

Input
輸入數據包含多個測試實例，每個實例佔一行，每行包含一個整數n(1<=n<=1000)，表示切的刀數。

Output
對於每組輸入數據，請輸出對應的蛋糕塊數，每個測試實例輸出一行。

Sample Input

1
2
3

Sample Output

2
4
8

解析

平面分割空間問題
由二維的分割問題可知，平面分割與線之間的交點有關，即交點決定射線和線段的條數，從而決定新增的區域數。
試想在三維中則是否與平面的交線有關呢？
當有n-1個平面時，分割的空間數爲f(n-1)。
要有最多的空間數，則第n個平面需與前n-1個平面相交，且不能有共同的交線。即最多有n-1 條交線。
而這n-1條交線把第n個平面最多分割成g(n-1)個區域。
（g(n)爲（1）中的直線分平面的個數 ）此平面將原有的空間一分爲二，則最多增加g(n-1)個空間。
故：f=f(n-1)+g(n-1) ps:g(n)=n(n+1)/2+1
=f(n-2)+g(n-2)+g(n-1)
……
=f(1)+g(1)+g(2)+……+g(n-1)
=2+(1*2+2*3+3*4+……+(n-1)n)/2+（n-1）
=(1+2^2+3^2+4^2+……+n^2-1-2-3-……-n )/2+n+1
=(n^3+5n)/6+1

AC

#include <stdio.h>

int main(){
	int n;
	while(scanf("%d", &n)!=EOF){
		printf("%d\n", (n*n*n+5*n)/6+1);
	}
	return 0;
}