平時經常看到牛頓法怎樣怎樣，一直不得要領，今天下午查了一下維基百科，寫寫我的認識，很多地方是直觀理解，並沒有嚴謹的證明。在我看來，牛頓法至少有兩個應用方向，1、求方程的根，2、最優化。牛頓法涉及到方程求導，下面的討論均是在連續可微的前提下討論。
1、求解方程。
並不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很複雜，導致求解困難。利用牛頓法，可以迭代求解。
原理是利用泰勒公式，在x0處展開，且展開到一階，即f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)
求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解x = x1=x0－f(x0)/f'(x0)，因爲這是利用泰勒公式的一階展開，f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)處並不是完全相等，而是近似相等，這裏求得的x1並不能讓f（x）=0，只能說f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0，於是乎，迭代求解的想法就很自然了，可以進而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，通過迭代，這個式子必然在f（x*）=0的時候收斂。整個過程如下圖：
2、牛頓法用於最優化
在最優化的問題中，線性最優化至少可以使用單純行法求解，但對於非線性優化問題，牛頓法提供了一種求解的辦法。假設任務是優化一個目標函數f，求函數f的極大極小問題，可以轉化爲求解函數f的導數f'=0的問題，這樣求可以把優化問題看成方程求解問題（f'=0）。剩下的問題就和第一部分提到的牛頓法求解很相似了。
這次爲了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展開，展開到2階形式：
這個式子是成立的，當且僅當 Δx 無線趨近於0。此時上式等價與：
求解：
得出迭代公式：
一般認爲牛頓法可以利用到曲線本身的信息，比梯度下降法更容易收斂（迭代更少次數），如下圖是一個最小化一個目標方程的例子，紅色曲線是利用牛頓法迭代求解，綠色曲線是利用梯度下降法求解。
在上面討論的是2維情況，高維情況的牛頓迭代公式是：
其中H是hessian矩陣，定義爲：
高維情況依然可以用牛頓迭代求解，但是問題是Hessian矩陣引入的複雜性，使得牛頓迭代求解的難度大大增加，但是已經有了解決這個問題的辦法就是Quasi-Newton methond，不再直接計算hessian矩陣，而是每一步的時候使用梯度向量更新hessian矩陣的近似。Quasi-Newton method的詳細情況我還沒完全理解，且聽下回分解吧。。。