動態數組自增策略的複雜度分析

由於編程時很難準確預知需要多少空間。比如申請了一個定長的數組存放數據，但是突然發現數組填滿了，因此需要一個更大的數組來填放數據，這就涉及了數組的自增策略問題。

定增策略

定增策略每次擴容將數組長度增加定長。設我們需要一個長爲$n$的數組，數組初始長度爲$I$，每次擴容的大小爲$I$，則$n=(m+1)I$,$m$爲擴容次數。第一次擴容需要一塊$2I$長度的數組空間來存放新的數組，此時，原數組複製到新數組空間需要$O(I)$的時間。而當$2I$長度的數組再次用完後，又需要申請一個長度爲$3I$的新數組，並且再將長度爲$2I$的原數組複製到新數組，此時，需要的時間爲$O(2I)$。

若將申請空間的時間忽略不計，在使用定增策略時，我們每次擴容需要的時間代價分別爲

$I,2I,3I,…,mI$

算術級數求和得：

$總時間=\frac{I(m+1)m}{2}$

由於$n=(m+1)I$，$I爲常數$，因此$n$與$m$同階。$總時間=\frac{n^2-nI}{2I}$，即得定增策略得到長度爲$n$的數組的時間複雜度爲$O(n^2)$。分攤到每個向數組存放數據的操作時，分攤時間複雜度爲$O(n)$。

倍增策略

倍增策略每次將當前長度翻倍，若我們需要一個長度爲$n$的數組，數組長度初始爲$I$，每次擴容將數組長度變成兩倍，則$n=2^mI$，$m$爲擴容次數。同樣的，主要的時間會花費在將原數組數據複製到新數組的過程中。第一次花費$I$，第二次花費$2I$，每次乘2，以此類推。

同樣將申請空間的時間忽略不計，在使用倍增策略時，每次擴容需要的時間代價分別爲

$I,2I,4I,8I,…,2^mI$

幾何級數求和得：

$總時間=I(2^m-1)=2^mI-I=n-I$

由於$I$爲常數，所以使用倍增策略時，得到長度爲$n$的數組需要的時間複雜度爲$O(n)$。分攤到每個向數組存放數據的操作時，分攤時間複雜度爲$O(1)$。

裝填因子分析

定增策略中由於增量$I$爲常數，而不斷擴容時$n$遠大於$I$，所以定長策略的裝填因子無限接近100%。

倍增策略中最壞情況就是剛擴容就停止存入數據了，因此倍增策略中裝填因子大於50%。

有意思的是，倍增策略並不一定只能乘2，比如每次擴容都變成原數組長度的1.5倍，那麼

$I,1.5I,2.25I,…,1.5^mI$

仍是幾何級數，此時總的時間複雜度還是$O(n)$,分攤到每次存入數據的分攤時間複雜度仍爲$O(1)$，但是，1.5倍的倍增策略的裝填因子提高到了至少66.66%。需要注意的是，取到的倍數不能太接近1，也不能比1大太多，這樣纔可以同時兼顧到時間和空間。

不同的動態數組空間管理就是時間與空間的兌換，在考慮使用哪種策略時，要多考慮時間與空間的折衷方案。