TSP簡介
一個商人從一點出發，經過所有點後返回原點。它需要滿足：除起點和終點外，所有點當且僅當經過一次；起點與終點重合；所有點構成一個連通圖。要求：得到這個商人經過所有點的最短路程。
TSP模型表示
設x[i][j]是一個0-1變量，其中1表示點i與點j之間有連邊，0表示這兩點之間無連邊，值得注意的是：x[i][j]不一定等於x[j][i]。
設c[i][j]表示點i到點j的距離，同理，c[i][j]不一定等於c[j][i]。
目標函數：
min sum(x[i][j]*c[i][j]) i，j分別遍歷（博客中插入公式不會，暫且這麼表示，該公式是一個二維for循環，分別遍歷i和j）
約束條件：
根據題目描述：所有點經過且只經過一次，並且構成一個環，因此任意一點的出度等於入度等於1，即需要滿足如下兩個約束：
1.sum(x[i][j])=1,遍歷i （該公式表示點j的入度等於1）
2.sum(x[i][j])=1,遍歷j （該公式表示點i的出度等於1）
若只有以上兩個約束條件，則形成的解中可能會產生若干個獨立的環，即所有點不能構成一個連通塊。爲打破子環的存在，還需加入一個約束條件。基於不同的角度，有兩種不同的約束方式，從而產生兩種不同的TSP數學模型，鑑於網上對兩種模型的比較較少，且介紹較爲簡單，同時由於前面幾個目標函數和約束1 2 的意義明確，因此本博文主要想介紹這兩種不同的約束的理由及各自優缺點。
A：sum(x[i][j])<=|S|-1;其中S表示任意一個點的子集（S集合中點的個數大於等於2個，小於CityNum個），例如：TSP中有3個點 a b c,則S表示{a,b},{a,c},{b,c}中的任意一個。上式中i和j在S集合中遍歷。解釋：若不滿足該約束，則存在一個TSP的點的子集，使得sum(x[i][j])>=|S|，我們可以很快知道sum(x[i][j]),遍歷i和j表示對應子圖中連邊數量（因爲x[i][j]=1表示從i到j有連邊），那麼當該子圖構成一個環時，邊的個數等於點的個數。因此，添加該約束能夠保證任意子圖不存在子環，從而保證所有點形成一個連通塊。具體cplex的代碼可以參考我的另一篇博文：https://blog.csdn.net/u011561033/article/details/93380842
B：u[i]-u[j]+(CityNum-1)*x[i][j]<=CityNum-2; i,j 從2個點開始遍歷。該公式新定義了一個變量，不用任何初始化操作。需要注意的是這邊的i和j是從2個點開始遍歷的，即需要把起點去掉。該公式也能滿足不存在環。因爲若x[i][j]=1，表示i到j有連邊，那麼原約束就變成：u[i]-u[j]<=-1 即 u[j]>=u[i]+1它保證u[t]從起點開始隨着商人的行走一直遞增，若存在子環，例如a-b-c-a,則會出現u[a]<u[b]<u[c]<u[a]，從而導致不等式遞推不成立，因此，若滿足公式：u[i]-u[j]+(CityNum-1)*x[i][j]<=CityNum-2;就能保證不存在環。因此，不把起點也包括在內是非常重要的。我就因爲一開始把起點包括在內，導致出現了很多錯誤。
綜上所述，兩種TSP模型各有優缺點，其中A模型易於理解，但隨着數據規模增大會導致S的規模呈指數級上升。B模型理解稍微要難於A模型，但其約束表示方便，便於計算。綜合分析上述兩個模型，我認爲還是B模型更好，更能在程序中進行表示。具體cplex的代碼可以參考我的另一篇博文：https://blog.csdn.net/u011561033/article/details/93408062
據說當點的規模超過100時，上述cplex代碼中的兩種方法都將不再適用，需要加入column generate的技巧，等我嘗試後再更新。