poj 1050 To the Max (從O(N^6)到O(N^3))

題目大意：

求一個矩陣中的一個子矩陣，使得該子矩陣的所有元素的和最大，求出那個和。

解題思路：

最暴力的想法：枚舉子矩陣的起點和終點，O(N^4)，對於每個子矩陣，求和，又是一個O(N^2) 對於N=100，N^6的複雜度太高。

我們可以用中間變量保存從1,1 到x，y的矩陣元素和，這樣可以再O（1）的複雜度求出子矩陣的和，如圖，紅色部分的和就d[x][y]+d[x3][y3]-d[x1][y1]-d[x2][y2].

這樣就把原先的O(N^6)降到了O(N^4)。

但是，對於這個題目O(N^4)複雜度也是比較大的。但是我們可以把複雜度降到O(N^3)。

第一步：我們枚舉y座標，這樣我們的複雜度是O(N^2)。現在對於我們只要枚舉橫座標就行，複雜度是O(N)。tem[j]表示在兩個枚舉的y座標範圍內，x座標從1到j的和。

具體代碼如下：

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m,i,j,t;
    int tmp[111],tem,a[111][111],sum[111][111];
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        memset(sum,0,sizeof(sum));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=1;j<=n;j++)
            {
                scanf("%d",&a[i][j]);
                sum[i][j]=sum[i-1][j]+a[i][j];//同一列的前綴和
            }
        }
        int ans = -11111111;
        //y座標從i到j
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            for(j=i;j<=n;j++)
            {
                tmp[0]=0;//在i到j的範圍內，x座標的前綴和
                for(t=1;t<=n;t++)
                {
                    tem = sum[j][t]-sum[i-1][t];
                    tmp[t] = max(tmp[t-1]+tem,tem);
                    ans = max(ans,tmp[t]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}