揹包問題之動態規劃（Dynamic Programming）問題Python實現

動態規劃問題

動態規劃問題，想法其實很簡單，就是根據貝爾曼最優性原理來求解。
如下圖：

簡單理解：假設圖中ABⅡC是最優的軌跡，那麼，BⅡC一定是最優的軌跡。這一點應該很容易理解。
證明：假設BⅠC比BⅡC更優，那麼AC的最優軌跡就應該爲ABⅠC。矛盾。

揹包問題

考慮一個場景：當你有去沙漠旅行，你有一個揹包和一些物品，揹包有最大承受重量，物品也有重量和價值，而物品種類很多，不可能全都裝在揹包裏，如何去選取價值總量最高的物品組合呢？

物品價值表

物品名	價值
water	10
book	3
food	9
jacket	5
camera	6

物品重量表

物品名	重量
water	3kg
book	1kg
food	2kg
jacket	2kg
camera	1kg

考慮使用貪婪算法，那就是什麼價值高就優先拿什麼，但有時這種近似解會不準，這時就要採用動態規劃方法：從小問題入手，逐步解決大問題，可以幫助你在給定約束條件下找到最優解

思路

對揹包容量，從裝滿到全空，進行迭代。每次都將剩餘的空間裝入價值最大的物品。迭代完成後，即得到最優解。
僞代碼如下：

for 當前剩餘質量 in range(1, 揹包最大質量)：
	for 小於當前剩餘質量的最優解：
		for 物品 in 物品列表：
			if 物品沒有被小於當前剩餘質量的最優解選中 and 物品質量 小於等於 (當前剩餘質量 - 小於當剩餘質量的最優解所使用的質量):
				將該物品放入揹包，並且統計揹包的總價值
		遍歷了物品列表，選出加入了一件新物品後的最優解，即價值最大的
	遍歷所有小於當前剩餘質量最優解後，在上一步價值最大的中選擇價值最大的，成爲新一步的最優解。

talk is cheap, show me the code

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#                      Dynamic Programming
#                           求解揹包問題
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# 物品信息，包含物品質量mass和物品價值value
goods = {
    "water": { "mass": 3, "value": 10 },
    "book": { "mass": 1, "value": 3 },
    "food": { "mass": 2, "value": 9 },
    "jacket": { "mass": 2, "value": 5 },
    "camera": { "mass": 1, "value": 6 }
}

# 揹包容量
package_size = 6

"""
動態規劃問題，根據貝爾曼最優性原理，考慮揹包剩餘容量，保證揹包剩餘容量裝的物品價值最大。
當揹包剩餘容量從0開始循環到揹包最大容量時，即最優解。
"""

# 揹包中各種剩餘容量的最優解, ["camera", "food", "book", 18]，最後一個值表示總價值
optimal_answers = []
optimal_answers.append([0])   # 將剩餘容量爲0時最優解加入最優解列表

for remaining_size in range(1, package_size+1):
    temps = []
    for i in range(len(optimal_answers)):    
    # 此處i可以改進，不用每次都從0開始，可以以滿足沒有裝入揹包得物品得最大質量 等於 remaining_size - i爲條件
        # 對相同的remaining_size - i，選取最優的
        temp = []
        for good in goods:
            # 如果該商品沒有放入包裏，且商品的質量小於等於remaining_size - i，則將其放入揹包內
            # print(good, ":", goods[good])
            if not (good in optimal_answers[i]) and (remaining_size - i) >= goods[good]["mass"]:
                opt_ans = optimal_answers[i][:]
                # print(optimal_answers[i])
                # print("opt_ans-optimal_answer:", opt_ans)
                opt_ans.insert(-1, good)
                opt_ans[-1] += goods[good]["value"]
                # print("opt_ans:", opt_ans)
                temp.append(opt_ans)
        
        # print("temp:", temp)
        max_value = 0
        optimal_item = None
        for item in temp:
            # print("item:", item)
            if item[-1] > max_value:
                max_value = item[-1]
                optimal_item = item
        if optimal_item != None:
            temps.append(optimal_item)

    max_values = 0
    optimal_items = None
    # print("temps:", temps)
    for item in temps:
        # print("items:", item)
        if item[-1] > max_values:
            max_values = item[-1]
            optimal_items = item

    optimal_answers.append(optimal_items)
    # print("optimal_answers:", optimal_answers)


print("揹包問題最優解爲：\n揹包的裝法：", optimal_answers[-1][:-1], "\n揹包的總價值爲：", optimal_answers[-1][-1])