《機器人操作的數學導論》第二章習題之14

《機器人操作的數學導論》第二章習題之14

題目如下

第一問(a)

對$\forall g \in SE(3)$，有$g = \left[ \begin{array} { l l } { R } & { p } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]$和$g ^ { - 1 } = \left[ \begin{array} { c c } { R ^ { T } } & { - R ^ { T } p } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]$
則有$\mathrm { Ad } _ { g } = \left[ \begin{array} { c c } { R } & { \widehat { p } R } \\ { 0 } & { R } \end{array} \right]$和$\mathrm { Ad } _ { g^{-1} } = \left[ \begin{array} { c c } { R^T } & { -\widehat { R^Tp } R^T } \\ { 0 } & { R ^T} \end{array} \right]$。
其中$\widehat { R^Tp }=(R^T)\hat{p}(R^T)^T=R^T\hat{p}R$
故：
$\mathrm { Ad } _ { g^{-1} } = \left[ \begin{array} { c c } { R^T } & { -R^T\hat{p}} \\ { 0 } & { R ^T} \end{array} \right]$
而：
$Ad_g\cdot Ad_{g^{-1}}= \left[ \begin{array} { c c } { R } & { \widehat { p } R } \\ { 0 } & { R } \end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array} { c c } { R^T } & { -R^T\hat{p}} \\ { 0 } & { R ^T} \end{array} \right]=I$
所以$(Ad_g)^{-1}=Ad_{g^{-1}}$

第二問(b)

對$\forall g_1,g_2\in SE(3),令 g_1=\left[ \begin{array} { cc } { R_1 } & { p_1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]，g_{2}=\left[ \begin{array} {cc} { R_2 } & { p_2} \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]$
$g_1g_2=\left[ \begin{array} { cc} { R_1R_2 } & {R_1p_2 + p_1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right]$
對其進行adjoint伴隨變換，故：
$\begin{aligned} Ad_{g_1g_2}&=\left[ \begin{array} { cc} { R_1R_2 } & {\widehat{R_1p_2 + p_1}R_1R_2 } \\ { 0 } & { R_1R_2 } \end{array} \right]\\ &=\left[ \begin{array} { cc} { R_1R_2 } & {\widehat{R_1p_2 + p_1}R_1R_2 } \\ { 0 } & { R_1R_2 } \end{array} \right] \end{aligned}$
$\begin{aligned} Ad_{g_1}Ad_{g_2}&=\left[ \begin{array} { c c } { R_1 } & { \hat { p_1 } R_1 } \\ { 0 } & { R_1 } \end{array} \right]\cdot\left[ \begin{array} { c c } { R_2 } & { \hat { p_2 } R_2 } \\ { 0 } & { R_2 } \end{array} \right]\\ &=\left[ \begin{array} { c c } { R_1R_2 } & { R_1\hat { p_2 } R_2+ \hat { p_1 }R_1 R_2} \\ { 0 } & { R_1 R_2} \end{array} \right] \end{aligned}$
其中$\widehat{R_1p_2 + p_1}=\widehat{R_1p_2 }+\hat{p_1}=R_1\hat{p_2 }R_1^T+\hat{p_1}$
$\because R\omega R^T=\widehat{R\omega}$

故有：
$Ad_{g_1g_2}=Ad_{g_1}Ad_{g_2}$
得證