揹包问题之动态规划（Dynamic Programming）问题Python实现

动态规划问题

动态规划问题，想法其实很简单，就是根据贝尔曼最优性原理来求解。
如下图：

简单理解：假设图中ABⅡC是最优的轨迹，那么，BⅡC一定是最优的轨迹。这一点应该很容易理解。
证明：假设BⅠC比BⅡC更优，那么AC的最优轨迹就应该为ABⅠC。矛盾。

揹包问题

考虑一个场景：当你有去沙漠旅行，你有一个揹包和一些物品，揹包有最大承受重量，物品也有重量和价值，而物品种类很多，不可能全都装在揹包里，如何去选取价值总量最高的物品组合呢？

物品价值表

物品名	价值
water	10
book	3
food	9
jacket	5
camera	6

物品重量表

物品名	重量
water	3kg
book	1kg
food	2kg
jacket	2kg
camera	1kg

考虑使用贪婪算法，那就是什么价值高就优先拿什么，但有时这种近似解会不准，这时就要采用动态规划方法：从小问题入手，逐步解决大问题，可以帮助你在给定约束条件下找到最优解

思路

对揹包容量，从装满到全空，进行迭代。每次都将剩余的空间装入价值最大的物品。迭代完成后，即得到最优解。
伪代码如下：

for 当前剩余质量 in range(1, 揹包最大质量)：
	for 小于当前剩余质量的最优解：
		for 物品 in 物品列表：
			if 物品没有被小于当前剩余质量的最优解选中 and 物品质量 小于等于 (当前剩余质量 - 小于当剩余质量的最优解所使用的质量):
				将该物品放入揹包，并且统计揹包的总价值
		遍历了物品列表，选出加入了一件新物品后的最优解，即价值最大的
	遍历所有小于当前剩余质量最优解后，在上一步价值最大的中选择价值最大的，成为新一步的最优解。

talk is cheap, show me the code

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#                      Dynamic Programming
#                           求解揹包问题
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# 物品信息，包含物品质量mass和物品价值value
goods = {
    "water": { "mass": 3, "value": 10 },
    "book": { "mass": 1, "value": 3 },
    "food": { "mass": 2, "value": 9 },
    "jacket": { "mass": 2, "value": 5 },
    "camera": { "mass": 1, "value": 6 }
}

# 揹包容量
package_size = 6

"""
动态规划问题，根据贝尔曼最优性原理，考虑揹包剩余容量，保证揹包剩余容量装的物品价值最大。
当揹包剩余容量从0开始循环到揹包最大容量时，即最优解。
"""

# 揹包中各种剩余容量的最优解, ["camera", "food", "book", 18]，最后一个值表示总价值
optimal_answers = []
optimal_answers.append([0])   # 将剩余容量为0时最优解加入最优解列表

for remaining_size in range(1, package_size+1):
    temps = []
    for i in range(len(optimal_answers)):    
    # 此处i可以改进，不用每次都从0开始，可以以满足没有装入揹包得物品得最大质量 等于 remaining_size - i为条件
        # 对相同的remaining_size - i，选取最优的
        temp = []
        for good in goods:
            # 如果该商品没有放入包里，且商品的质量小于等于remaining_size - i，则将其放入揹包内
            # print(good, ":", goods[good])
            if not (good in optimal_answers[i]) and (remaining_size - i) >= goods[good]["mass"]:
                opt_ans = optimal_answers[i][:]
                # print(optimal_answers[i])
                # print("opt_ans-optimal_answer:", opt_ans)
                opt_ans.insert(-1, good)
                opt_ans[-1] += goods[good]["value"]
                # print("opt_ans:", opt_ans)
                temp.append(opt_ans)
        
        # print("temp:", temp)
        max_value = 0
        optimal_item = None
        for item in temp:
            # print("item:", item)
            if item[-1] > max_value:
                max_value = item[-1]
                optimal_item = item
        if optimal_item != None:
            temps.append(optimal_item)

    max_values = 0
    optimal_items = None
    # print("temps:", temps)
    for item in temps:
        # print("items:", item)
        if item[-1] > max_values:
            max_values = item[-1]
            optimal_items = item

    optimal_answers.append(optimal_items)
    # print("optimal_answers:", optimal_answers)


print("揹包问题最优解为：\n揹包的装法：", optimal_answers[-1][:-1], "\n揹包的总价值为：", optimal_answers[-1][-1])