遞歸原來可以so easy|-連載（1）

引子

從前有座山，山上有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是從前有座山，山上有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是......

這個例子，如果用java程序來演示，會是這個樣子：

public class Hello {
    public static void main(String[] args) {
        sayStory();       
    }

    static void sayStory(){
        System.out.println("從前有座山，山上有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚在給小和尚講故事，故事講的是");
        sayStory();
    }   
}

程序運行結果：

故事在一直講下去。

看一下java代碼中，在方法sayStory()中又調用了sayStory()。

遞歸概述

什麼是遞歸

　　遞歸，英文爲Recursion， 在計算機科學中，遞歸指得是在函數的定義中使用函數自身。
遞歸，包含了兩個意思：遞 和 歸。遞是隻傳遞下去，歸是指歸來，也就是說，遞歸有去也有回。
那麼，上面的講故事的程序，算遞歸程序嗎？
在方法sayStory()中又調用了sayStory()，符合遞歸的一個條件，即傳遞，但是，這個程序，沒有歸來，所以，程序會一直運行下去，直到資源耗盡，程序出錯：

因此，這不是個完整的遞歸程序。
遞歸要素
首先，遞歸必須要申明一個函數，且在函數中調用自身。
另外，遞歸要有明確的終止條件，遞歸就是有去有回，必然有一個明確的重點，到達這個終點後，就不再往下遞，而是開始往回歸來。

遞歸的內涵

​ 遞歸的核心思想，就是把規模大的問題轉化爲規模小的相似的子問題來解決。在函數實現時，因爲解決大問題的方法和解決小問題的方法往往是同一個方法，所以就產生了函數調用它自身的情況，這也正是遞歸的定義所在。
考慮一下，遞歸的數學模型，很像數學歸納法。數學歸納法適用於將解決的原問題轉化爲解決它的子問題，而它的子問題又變成子問題的子問題。歸納法解決數學問題一般分爲下面3個步驟：
1：步進表達式：問題演算成子問題的表達式
2：結束條件：什麼時候可以不再使用步進表達式
3：求解表達式：在結束條件下能夠直接計算返回值的表達式

比如，斐波那契數列，使用數學歸納法，3個步驟爲：
1： 推導出計算表達式： F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
2：結束條件：n=1,n=2時
3：求解表達式： F(1)=F(2)=1

遞歸的編程模型

　　 明確了遞歸的數學模型後，我們就要看，如果通過編程來實現遞歸。一般的，有兩種編程模型：

模型一： 先處理問題，然後再往下傳遞
遞歸函數(大規模){

    if (end_condition){      // 遞歸終止條件
        end;   
    }else{
        solve;             // 處理問題
        遞歸函數(小規模);  // 分解問題規模，傳遞下去
    }
}

模型二： 在歸來的過程中處理問題
遞歸函數(大規模){

    if (end_condition){      // 遞歸終止條件
        end; 
}else{ 
    遞歸函數(小規模);  //分解問題規模，傳遞下去
        solve;            // 歸來，處理問題
    }
}

下面，演示一下，使用遞歸的編程模型，解決斐波那契數列問題。
首先，需要什麼一個函數，問題規模爲n，問題的結果爲一個整數。
則函數可以聲明爲：int fib(int n)
然後，確定終止條件： n=1,n=2時
3：求解表達式：
F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
F(1)=1,F(2)=1

則代碼如下：

案例演示

階乘

階乘n!的數學定義： n!=1234…..(n-1)n，並規定 1!=1。
因此，2!=21=2(1!)，3!=3(21)=3(2!)，
4!=4(321)=4(3!)
5!=5(4321)=54!
根據規律，可以推斷出： n!=n*(n-1)!，這就是階乘的遞歸公式。
並且可以明確遞歸的終止條件n=1,終止時的值爲1。

下面，想一下，如何用java程序來實現呢？
遞歸函數原型，可以什麼爲：int factorial(int n);
則函數的遞歸調用表達式爲： factorial(n)=n* factorial(n-1)

具體代碼如下：

public class Hello {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        System.out.println("請輸入n：");
        int n = sc.nextInt();
        int f = factorial(n);
        System.out.println("結果是：" + f);
    }

    static int factorial(int n) {
        if (n == 1)
            return 1;
        else
            return n * factorial(n - 1);
    }
}

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