八皇后問題

背景

• 在我們的一生中，會遇到很多重要的岔路口。在岔路口上，每個選擇都會影響我們今後的人生。有的人在每個岔路口都能做出最正確的選擇，最後生活、事業都達到了一個很高的高度;而有的人一路選錯，最後碌碌無爲。如果人生可以量化，那如何才能在岔路口做出最正確的選擇，讓自己的人生“最優”呢?

• 我們可以藉助前面學過的貪心算法，在每次面對岔路口的時候，都做出看起來最優的選擇，期望這一組選擇可以使得我們的人生達到“最優”。但是，貪心算法並不一定能得到最優解。那有沒有什麼辦法能得到最優解呢?

• 2004年上映了一部非常著名的電影《蝴蝶效應》，講的就是主人公爲了達到自己的目標，一直通過回溯的方法，回到童年，在關鍵的岔路口，重新做選擇。當然，這只是科幻電影，我們的人生是無法倒退的，但是這其中蘊含的思想其實就是回溯算法。

• 籠統地講，回溯算法很多時候都應用在“搜索”這類問題上。不過這裏說的搜索，並不是狹義的指我們前面講過的圖的搜索算法，而是在一組可能的解中，搜索滿 足期望的解。

• 回溯的處理思想，有點類似枚舉搜索。我們枚舉所有的解，找到滿足期望的解。爲了有規律地枚舉所有可能的解，避免遺漏和重複，我們把問題求解的過程分爲多個階段。每個階段，我們都會面對一個岔路口，我們先隨意選一條路走，當發現這條路走不通的時候(不符合期望的解)，就回退到上一個岔路口，另選一種走法繼續走。

八皇后問題

• 我們有一個8x8的棋盤，希望往裏放8個棋子(皇后)，每個棋子所在的行、列、對角線都不能有另一個棋子。你可以看我畫的圖，第一幅圖是滿足條件的一種方法，第二幅圖是不滿足條件的。八皇后問題就是期望找到所有滿足這種要求的放棋子方式。
  
  我們把這個問題劃分成8個階段，依次將8個棋子放到第一行、第二行、第三行…第八行。在放置的過程中，我們不停地檢查當前的方法，是否滿足要求。如果 滿足，則跳到下一行繼續放置棋子;如果不滿足，那就再換一種方法，繼續嘗試。

代碼如下：

package main

import "fmt"

//下標i表示行，值j表示列，表示第(i，j)位置放一個皇后
var result = make([]int, 8)
var cnt = 0 //記錄有多少種

func cal8queens(row int) {
	//遞歸退出條件
	if row == 8 {
		cnt++
		printQueens(result) //滿足則打印
		return
	}
	//畫圖理解，當一條路走不通，回到原位置，把皇后放到下一列，再嘗試
	for column := 0; column < 8; column++ { //每一行都有8种放法
		if isOk(row, column) { //如果滿足條件
			result[row] = column //第row行的皇后放在column列上
			cal8queens(row + 1) //計算下一行皇后的位置
		}
	}
}

//巧妙的判斷思路，利用column，只需要判斷左上、右上和正上方三個方向
func isOk(row, column int) bool {
	leftup, rightup := column-1, column+1
	for i := row - 1; i >= 0; i-- {
		if result[i] == column {
			return false //第i行的column列有皇后
		}
		if leftup >= 0 {
			if result[i] == leftup {
				return false
			}
		}
		if rightup <= 7 {
			if result[i] == rightup {
				return false
			}
		}
		leftup--
		rightup++
	}
	return true
}

func printQueens(result []int) {
	for row := 0; row < 8; row++ {
		column := result[row]
		for col := 0; col < 8; col++ {
			if col != column {
				fmt.Printf("*")
			} else {
				fmt.Printf("Q")
			}
		}
		fmt.Println()
	}
	fmt.Println("===================")
}

func main() {
	cal8queens(0) //調用方式
	fmt.Printf("8皇后問題共有%d種排列方法\n", cnt)
}