FFT解泊松方程

Pérez, Patrick, Gangnet M , Blake A . Poisson image editing[J]. ACM Transactions on Graphics, 2003, 22(3):313.

上一篇：泊松融合筆記

1. 待求解的問題
   $\Delta f=\nabla\cdot v(x,y)=div(v(x,y)),\forall (x,y)\in\Omega,with\quad f|_{\mathscr{R}\setminus\Omega}=f^*|_{\mathscr{R}\setminus\Omega}$
   其中$\mathscr{R}\subset R^2$ 表示背景圖像區域，$v(x,y)=(\frac{\partial I(x,y)}{\partial x},\frac{\partial I(x,y)}{\partial y})$是前景圖片合併前的梯度，$f:R^2\rightarrow R$，表示合併後在$\Omega$區域的灰度值函數，在目標區域的梯度要儘量接近合併前前景圖片的梯度，$f^*$表示合併後在$\Omega$區域之外的灰度值函數，在邊界處灰度連續，即$f|_{\mathscr{R}\setminus\Omega}=f^*|_{\mathscr{R}\setminus\Omega}$。

2. 擴大求解區域
   爲了使用FFT求解，需要將求解區域擴大到整個背景圖像區域。擴充後問題的形式如下：
   $\Delta f(x,y)=\nabla\cdot V(x,y)=div(V(x,y)),\forall (x,y)\in\mathscr{R}\,and\quad \nabla f(x,y) \cdot \vec n|_{\partial\mathscr{R}}=0$
   其中$V(x,y)$定義爲：
   $V(x,y) = \begin{cases} v(x,y)& if\quad (x,y)\in \Omega \\ \nabla I(x,y) &otherwise \end{cases}$
   $\nabla f(x,y) \cdot \vec n|_{\partial\mathscr{R}}=0$是黎曼邊界條件，$\vec n$爲圖像邊界的外法向，等價於：
   $(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}) \cdot (1,0)=0 ,if \quad x=0||x=W-1 \\ (\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}) \cdot (0,1)=0 ,if \quad y=0||y=H-1$
   上述條件可轉換爲：
   $V^x=\frac{\partial I(x,y)}{\partial x}=0 ,if \quad x=0||x=W-1 \\ V^y=\frac{\partial I(x,y)}{\partial y}=0 ,if \quad y=0||y=H-1$

3. 傅里葉變換
   $f(x,y)=\frac{1}{WH}\sum_{u=0}^{W-1}\sum_{v=0}^{H-1}f(u,v)e^{-2\pi i(\frac{xu}{W}+\frac{yv}{H})} \\ \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=(\frac{2\pi i}{W}u)f(u,v),\frac{\partial f(u,v)}{\partial y}=(\frac{2\pi i}{H}v)f(u,v) \\ \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=(\frac{2\pi i}{W}u)^2f(u,v), \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=(\frac{2\pi i}{H}v)^2f(u,v)$
   上述計算公式對$V(x,y)$的分量分別計算也成立。
   待求解的問題爲：
   $\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=\frac{\partial V^x(x,y)}{\partial x}+\frac{\partial V^y(x,y)}{\partial y},(x,y)\notin {\partial \mathscr{R}} \\ \Leftrightarrow \\ ((\frac{2\pi i}{W}u)^2+(\frac{2\pi i}{H}v)^2)f(u,v)=(\frac{2\pi i}{W}u)V^x(u,v)+(\frac{2\pi i}{W}v)V^y(u,v) \\ (u=1,2,\cdots,W-2,v=1,2,\cdots,H-2)$
   化簡爲：
   $f(u,v) = \begin{cases} \frac{(\frac{2\pi i}{W}u)V^x(u,v)+(\frac{2\pi i}{W}v)V^y(u,v)}{ (\frac{2\pi i}{W}u)^2+(\frac{2\pi i}{H}v)^2}& u=1,2,\cdots,W-2,v=1,2,\cdots,H-2 \\ mean(f(u,v)) &otherwise \end{cases}$
   求得每一點得$f(u,v)$再用傅里葉逆變換得到$f(x,y)$。