凸函數和上境圖

原創 加菲猫的传说 2020-06-16 08:59

上一篇：凸函數總結

函數f:R^n\rightarrow R的圖像定義爲

\left \{ (x,f(x))|x\in dom f \right \}，

它是R^n^+^1空間的一個子集。函數f:R^n\rightarrow R的上境圖定義爲

\textbf{epi} f=\left \{ (x,t)|x\in dom f,f(x)\leq t \right \}，它也是R^n^+^1空間的一個子集。

定理 函數f是凸函數當且僅當\textbf{epi} f是凸集。

證明：

(必要性)顯然成立，證明省略。

(充分性)假設x_1,x_2\in dom f，顯然有(x_1,f(x_1)),(x_2,f(x_2))\in \textbf{epi} f，又由於\textbf{epi} f是凸集

所以有(tx_1+(1-t)x_2,tf(x_1)+(1-t)f(x_2))\in \textbf{epi} f即得

f(tx_1+(1-t)x_2)\leq tf(x_1)+(1-t)f(x_2)成立，由於x_1,x_2的任意性可知f是凸函數。

亞圖

\textbf{hypo} f=\left \{ (x,t)|t\leq f(x)\right \}，

類似上述定理有函數f是凹函數當且僅當其亞圖是凸集。

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