數學分析-第1.1節-數列極限習題

習題¹

1. 問在下列條件下是否有$\lim\limits_{n\to\infin}x_n=a.$
   (1) $任給\epsilon>0，存在N\in{\Nu}，當n\in{\Nu}且n\geqslant{N}時，有\lvert{x_n-a}\rvert\leqslant\epsilon.$
   (2) $任給\epsilon(1>\epsilon>0)，存在N\in{\Nu}，當n\in{\Nu}且n>N時，有\lvert{x_n-a}\rvert<\epsilon.$
   (3) $任給k\in{\Nu}，存在N\in{\Nu}，當n\in{\Nu}且n>N時，有\lvert{x_n-a}\rvert<\frac{1}{k}.$
   (4) $對於任給的k\in{\Nu}，\{x_n\}中只有有限多項在a的\frac{1}{k}-鄰域外.$
   (5) $對於任給的\epsilon>0，\{x_n\}有無限多項在a的\epsilon-鄰域內.$

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2. 證明下列等式：
   (1) $\lim\limits_{n\to\infin}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}.$
   (2) $\lim\limits_{n\to\infin}0.\underbrace{99...9}_{\text{n個}}=1.$
   (3) $\lim\limits_{n\to\infin}\arctan{n}=\frac{\pi}{2}.$

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1. 《數學分析教程（上冊）》 許紹溥，姜東平 編著 南京大學出版社，2013.11 ↩︎