冪級數框架

本內容的參考書目：
陳紀修《數學分析》（下冊）

https://u.jd.com/mJWpJL

冪級數

冪級數是最簡單的函數項級數，具有很好的性質. 以下是關於冪級數的基本框架.

收斂半徑R

會使用柯西判別法和d’Alembert判別法確定收斂半徑$R$.

柯西判別法

d’Alembert判別法

Cauchy-Hadamard定理

Abel定理

Cauchy-Hadamard定理和Abel定理反應了冪級數的特殊性.

Abel第一定理

Abel第二定理

Abel第二定理保證了冪級數的以下性質:

• 和函數的連續性

• 逐項可積性

  • 收斂區間擴大

• 逐項求導性

  • 收斂區間縮小

冪級數是最簡單的函數項級數，而且具有很好的性質，人們想通過使用冪級數研究一般的函數, 所以就有了Taylor級數.

Taylor級數

直接法

• 基本初等函數(記住)

  • 指數函數
  • 對數函數
  • 三角函數
  • 反三角函數
  • 冪函數

這些級數的證明不要求掌握，但是一定要熟記它們Taylor級數的展開式，因爲這些是間接法的基礎.

間接法

- 利用基本初等函數

冪級數導圖