實數系基本定理證明第①波

都12月3號了，快要考試了，我好慌啊，哎
基本定理們真牛逼，隨便挑出一個就能證明另一個

用有限覆蓋定理證明聚點定理

• 有限覆蓋：$H$是閉區間$[a,b]$的一個（無限）開覆蓋
  • 從$H$中可選有限個開區間蓋住$[a,b]$
• 聚點定理：實軸上、任一、有界、無限點集至少存在一個聚點

證明

• 反證
• 設$S$是實軸上一個有界無限點集，且$S\subseteq[-M,M]$
• 假設$S$不存在聚點，則$\forall x\in[-M,M]$都不是S的聚點
  • 於是存在$\delta_x>0,在U(x;\delta_x)$中只含有S的有限個點
  • (用有限覆蓋了啊！)於是開區間$H=\{U(x;\delta_x)|x\in[-M,M]\}$是$[-M,M]$的一個開覆蓋
  • 由有限覆蓋定理，從中可選出有限個開區間覆蓋$[-M,M]$,不妨設爲$U(x_1;\delta_{x_1}),U(x_1;\delta_{x_2}),...,U(x_1;\delta_{x_n})$，它們ye是S的一個開覆蓋
• 由於每個區間都只有S的有限個點，因此合起來之後依然是有限個點，這S不就變成有限點集了嗎！矛盾矛盾，所以肯定有聚點

用有限覆蓋定理證明根的存在性定理

• 根的存在性定理：$f$在$[a,b]$上連續，$f(a)f(b)<0$，則至少存在一點$x_0\in(a,b)，使得f(x_0)=0$

證明

• 反證，假設沒有實根
• 則對每一點$x\in(a,b)$，都有$f(x)\ne0$
• 連續函數局部保號性$\to$對每一點$x\in[a,b],\exist U(x;\delta_x)$，使得$f在U\cap[a,b]$上與$f(x)$同號
• 所有的$U(x;\delta_x)$形成一個$[a,b]$的開覆蓋，於是可從中選出有限個開區間覆蓋$[a,b]$,把這些開區間的集合記爲$S$
• a肯定屬於S的某個開區間，設爲$\sigma_1=(x_1-\delta_1,x_1+\delta_1)$
  • 而右端點$x_1+\delta_1$又屬於S的另一個開區間，設爲$\sigma_2=(x_2-\delta_2,x_2+\delta_2)$
  • 經過有限次向右移動，得到開區間$\sigma_n=(x_n-\delta_n,x_n+\delta_n)$，使得$b\in\sigma_n$
  • $f(x)$在每個$\sigma$中的符號一致，在$\sigma_1$中與$f(a)$符號一致，而$\sigma_1\cap\sigma_2\ne\empty，$於是$\sigma_2$的符號與$\sigma_1$一致，也是$f(a)$的符號
  • 類推，$f(b)與f(a)$一致了，與已知矛盾

用有限覆蓋定理證明連續函數的一致連續定理

• 條件：$f在[a,b]$上連續
• 證明：由$f$連續，對$\forall x\in[a,b]，\forall\varepsilon>0,\exist \delta_x>0$
  • 當$x\in U(x;\delta_x)$時，有$|f(x)-f(x')|<\frac{\varepsilon}2$
  • 取$H=\{U(x;\frac{\delta_{x}}2)|x\in[a,b]\}$爲$[a,b]$的一個無限開覆蓋
  • 於是從中可選出有限個區間覆蓋$[a,b]$,設爲$U(x_i;\frac{\delta_{x_i}}2)，i=1,2,...,m$取$\delta=\min\{\frac{\delta_{x_1}}2,\frac{\delta_{x_2}}2,...,\frac{\delta_{x_m}}2\}$
  • 對$\forall x',x''\in[a,b]，不妨設x'\in U(x_1;\frac{\delta_{x_1}}2)，即有$ $|x'-x_1|<\frac{\delta_{x_1}}2$當$|x'-x''|<\delta$時$|x''-x_1|\le|x''-x'|+|x'-x_1|<\delta+\frac{\delta_{x_1}}2\le\delta_{x_1}$
  • 於是有$|f(x')-f(x'')|\le|f(x')-f(x_1)|+|f(x_1)-f(x'')|<\varepsilon$由一致連續定義就整完啦！