【科普】量子計算通識-6-Deutsch多伊奇算法

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以下內容參照微軟研究院主題演講《Quantum Computing for Computer Scientists（計算機科學家量子計算導讀）》的結構進行整理和擴充的。
本篇是第六部分。上一篇【科普】量子計算通識-5

多伊奇問題Deutsch Problem

量子計算能做什麼？有什麼優勢？
我們從最簡單的多伊奇問題開始。

首先，我們知道，對於一個比特進行操作，有四種方法：不變，翻轉，等0，等1，它們都可以表示成用一個矩陣相乘的模式。

$f(x)=x$
$\begin{pmatrix}1,0\\0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0 \qquad \begin{pmatrix}1,0\\0,1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=1$
$f(x)=﹁x$
$\begin{pmatrix}0,1\\1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=1 \qquad \begin{pmatrix}0,1\\1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0$
$f(x)=0$
$\begin{pmatrix}1,1\\0,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0 \qquad \begin{pmatrix}1,1\\0,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0$
$f(x)=1$

這四種操作又可以根據輸入輸出的對比分爲兩種情況：

情況A：變量結果variable，不變和翻轉都屬於這種，它們的輸出結果可能是0也可能是1。這種變量結果也可以叫做平衡結果Balanced，因爲結果有一半情況下是輸出0，另一半情況下輸出1。另外注意，這兩種操作都是可逆的，就是說如果你知道是翻轉操作並且結果輸出1，那麼就可以推算輸入是0。
情況B：常量結果constant，等0和等1都屬於這種，他們的輸出結果是固定的，永遠等於0或者等於1，不會因爲輸入不同而不同。這兩種操作是不可逆的，也就是說即使你知道是等0操作並且知道操作結果輸出0，也不能推理出輸入的數值是0還是1。

現在問題是，假設有一個函數操作 $f'$ ，我們只知道它是四種操作裏的一種，但我們可以用輸入輸出進行測試，那麼，要確定 $f'$ 屬於情況A（變量可逆）還是情況B（常數不可逆），我們最少做幾次測試？

這個問題最早是英國物理學家David Deutsch提出來的，當然他也提出了量子算法的解決方案。

經典計算機解決方案

用經典計算機來判斷 $f'$ 到底是情況A（變量結果操作）還是情況B（常量結果操作），必須要經過兩次嘗試，第一次輸入0觀看結果，第二次輸入1觀看結果。

第一次輸入0輸出是0，那麼 $f'$ 可能是不變，也可能是等0。
第一次輸入0輸出是1，那麼 $f'$ 可能是翻轉，也可能是等1。
第一次輸入1輸出是0，那麼 $f'$ 可能是翻轉，也可能是等0。
第一次輸入1輸出是1，那麼 $f'$ 可能是不變，也可能是等1。

所以，必須至少嘗試兩次，第一次輸入0，第二次輸入1或者相反：

$0\to0,1\to1\quad\Rightarrow f(x)=x$ ，不變，情況A變量
$0\to0,1\to0\quad\Rightarrow f(x)=0$ ，等0，情況B常量
$0\to1,1\to1\quad\Rightarrow f(x)=1$ ，等1，情況B常量
$0\to1,1\to0\quad\Rightarrow f(x)=﹁x$ ，翻轉，情況A變量

我們經過兩次經典計算可以確定 $f'$ 屬於變量操作或者常量操作。

雖然我們也可以確定到它屬於四種操作中的哪一種，但其實這個信息是不必要的，又是不得已而爲之的，因爲我們只需要判斷變量或者常量即可。

重新組裝

在量子計算中我們要求所有操作都是可逆的，那麼我們先對四種位操作進行重新佈線，也就是說設計四種可逆的量子位操作線路，或者說四種算法。當然，這四種算法也必須滿足實現四種操作：

在這裏我們輸入兩個量子位InputA和InputB，其中InputA是固定的|0>，你可以把它視爲冗餘的輔助輸入；同樣輸出的OutputA是真正的操作結果，而OutputB也可以視爲冗餘的副產品。

爲什麼設計成這樣的線路？先不急，我們先看在這個結構下如何實現四種可逆的量子位操作。

等0操作線路，直接把InputA(|0>)輸出到OuputA，這就確保了OutputA固定爲|0>；而至於冗餘的OutputB也直接連接到InputB即可。如下圖：
等1操作線路，和等0線路差不多，把InputA線路上面添加一個非門就可以確保OutputA固定爲|1>了。如下圖：

不變操作線路，這個就有點複雜了，注意這裏是個CNOT可控非門，InputB是控制位，InputA是目標被控位。所以，如果InputB是|0>，那麼InputA
穿過連線不變輸出OutputA的就還是|0>，而正好和控制位InputB相同；如果InputB是|0>是|1>，那麼InputA的|0>穿過連線被翻轉輸出OutputA就是|1>，也正好和控制位InputB相同。

翻轉操作線路，只要在不變操作的基礎上增加一個翻轉操作就可以了。

注意上面四個圖的OutputA，分別是|0>、|1>、|x>、|﹁x>，這正對應了量子比特的四種操作。

Deutsch多伊奇算法

有了上面四種操作全新的可逆線路算法，我們用一次測試就可以確定 $F'$ 是變量操作還是常量操作了。

首先我們把 $F'(x)$ 當做一個未知的黑盒子，並向兩端增加一些翻轉操作（X）、Hadamard門操作（H）和一些測量Measure操作（M），組成下面的測試電路：

從圖中可知，我們的兩個輸入InputA和InputB都是|0>，那麼我們來看一下在等0、等1、不變、翻轉四種不同的操作情況下輸出的結果都是什麼。

在此之前，我們先把左側的翻轉（X）和Hadamard（H）處理出來：

InputA和InputB，都是|0>，經過-X-H-後得到 $\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ ：

我們把這個點作爲進入未知黑盒 $F'$ 的起點，下面用藍色圓點表示。

假設 $F'$ 是等0操作，那麼經過 $F'(x)$ 沒變化，然後經過右邊的Hadamard門結果是 $\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}$ ，測量結果是1，聯合OutputA和OutputB得到|11>：
假設 $F'$ 是等1操作，那麼如下圖，OutputA多經歷一次翻轉（X），再經過Hadamard門（H）之後到達了 $\begin{pmatrix}0 \\-1\end{pmatrix}$ ，但測量結果還是1，聯合OutputA和OutputB仍然得到|11>

假設 $F'$ 是不變操作，那麼情況會複雜一些，我們有下圖：

但OutputA是怎麼回事？首先我們知道這是個CNOT可控非門操作，而CNOT就是乘以一個特別的矩陣，我們有如下公式：

$\begin{align} &C\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{pmatrix}=C\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{-1}{2}\\\frac{-1}{2}\\\frac{1}{2}\\ \end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1,0,0,0\\0,1,0,0\\0,0,0,1\\0,0,1,0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}\\ &=\frac{1}{2} \begin{pmatrix}1\\-1\\1\\-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{align}$
注意這裏最後一步的巧妙之處在於開頭的CNOT操作相當於把兩個 $\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ 的張量積轉換爲 $\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ 的張量積，簡化後就是：

$C\begin{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{-1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$

所以有上圖，OutputA是 $\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ 測量後是|0>，聯合OutputA和OutputB仍然得到|01>

假設 $F'$ 是翻轉操作，那麼相當於比不變操作多了一個翻轉，如下圖所示，注意這裏OutputA的翻轉（X）操作仍然在原地，所以最終聯合OutputA和OutputB仍然得到|01>

綜合上面四種情況，我們得到：

等0操作結果是|11>
等1操作結果是|11>
不變操作結果是|01>
翻轉操作結果是|01>

所以，輸入InputA和InputB兩個都是|0>，如果結果是|11>，那麼 $F'$ 就是個常量操作，如果結果是|01>，那麼 $F'$ 就是個變量操作。

只要一次操作就完成了！速度快了一倍！

下一篇我們再深入瞭解多伊奇喬扎Deutsch-Josza算法，它可以針對更多量子操作實現類似的加速。

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END

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