3D空間變換

3D空間變換

原創

windistance

2019-07-30 01:50

文章目錄

1、等距變換（歐式變換）

它相當於是平移變換（t）和旋轉變換（R）的複合，等距變換前後長度，面積，線線之間的角度都不變。

自由度 6 (旋轉變換R自由度+3，平移變換t自由度+3)
$T= \begin{bmatrix} R & t \\ 0^T & 1 \\ \end{bmatrix}$

//4x4矩陣
//Eigen::Isometry3d

Eigen::Isometry3d T = Eigen::Isometry3d::Identity( );  // 三維變換矩陣
T.rotate( rotation_vector );  // 旋轉部分賦值
T.pretranslate( Eigen::Vector3d( 1, 0, 0 ) );  // 設置平移向量
cout << "Transform matrix = \n" << T.matrix( ) << endl;

2、相似變換

等距變換和均勻縮放（S）的一個複合，類似相似三角形，體積比不變。

自由度 7 （歐式變換+6，和歐式變換相比多個一個縮放參數s，自由度+1）
$T_S= \begin{bmatrix} sR & t \\ 0^T & 1 \\ \end{bmatrix}$

//4x4矩陣
double s;
Eigen::Isometry3d Ts = Eigen::Isometry3d::Identity( );  // 三維變換矩陣
Ts.rotate( s*rotation_vector );  // 旋轉部分賦值
Ts.pretranslate( Eigen::Vector3d( 1, 0, 0 ) );  // 設置平移向量
cout << Ts.matrix( ) << endl;

3、仿射變換（正交投影）

一個平移變換（t）和一個非均勻變換（A）的複合，A是可逆矩陣，並不要求是正交矩陣。

仿射變換的不變量是:平行線，平行線的長度的比例，面積的比例

自由度12 （非奇異線性變換A自由度+9，平移變換t自由度+3）
$T_A= \begin{bmatrix} A & t \\ 0^T & 1 \\ \end{bmatrix}$
可以看出，仿射變換就是對圖像的旋轉+平移+縮放+切變（shear），相比前兩種變換圖像的形狀發生了改變，但是原圖中的平行線仍然保持平行。

//4x4矩陣
//Eigen::Affine3d

4、射影變換（透視變換）

當圖像中的點的齊次座標的一般非奇異線性變換(A),射影變換的不變量是:重合關係、長度的交比

自由度15 （非奇異線性變換A自由度+9，平移變換t自由度+3，縮放變換v自由度+3），縮放變換v是對每個座標的縮放，當s不爲0時，由於採用齊次座標，因此整個變換矩陣除以s，可以得到右下角爲1的矩陣，當s=0時，是右下角爲0的矩陣。
$T_S= \begin{bmatrix} A & t \\ v^T & s \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31}& t_1 \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} & t_2 \\ a_{13} & a_{23}& a_{33} & t_3 \\ v_1 & v_2 & v_3& s \\ \end{bmatrix} \\ \longrightarrow x*v_1+y*v_2+z*v_3+s=1$