槓上數據結構 - 樹

線性與非線性

線性： 指的是元素之間是 “一對一” 的關係，比如只有唯一 一個"前驅"和唯一一個"後繼"。

非線性： 指的是元素之間是一對多的關係，比如 “樹” 中節點可能有多個孩子節點，“圖” 中可能有多個元素與之關聯。

樹

樹是一種非線性的數據結構，是由 n （n >= 0）個節點組成的有限集合。如果 n = 0，則樹是空樹。除了根節點外，其餘節點被分成 M (M > 0) 個互不相交的集合 T1, T2, T3,……Tn, 其中每一個集合又是一棵結構和樹類似的子數，每棵子樹的根節點有且只有一個前驅，有 0 個或多個後繼。

樹有關的基本概念：

• 節點： 節點包含數據和指向其他節點的指針。
• 根節點： 樹的第一個節點。
• 節點的度： 該節點所擁有的子樹的個數。
• 樹的度： 樹中所有節點的度的最大值稱爲該樹的度。
• 葉子節點： 沒有子節點的節點，也稱終端節點。
• 父子節點： 一個節點 father 指向另一個節點 child ，則 child 爲孩子節點， father 爲父節點。
• **兄弟節點：**具有相同父節點的節點互爲兄弟節點。
• 祖先節點： 從根節點開到該節點所經過的所有節點都是該節點的祖先。
• 子孫節點： 以某節點爲根的子樹中任意一個節點都稱爲該節點的子孫節點。
• 樹的高度： 樹中距離根節點最遠節點的路徑長度。

樹的存儲結構

1. 雙親表示法
2. 孩子表示法
3. 孩子兄弟表示法

1. 雙親表示法

以一組地址連續的空間(數組)存儲樹的節點，同時在每個節點中，附設一個指示器指示其雙親節點在數組中的位置。

下標	data	parent
0	A	-1
1	B	0
2	C	0
3	D	0
4	E	1
5	F	2
6	G	3
7	H	3

二叉樹

二叉樹： 二叉樹的每個節點至多隻有二棵子樹，子樹有左右之分且順序不能顛倒，左的稱爲 左子樹，右邊的稱爲右子樹。

二叉樹特點

• 每個節點至多有兩棵子樹，即二叉樹中不存在度大於2 的節點。

• 二叉樹的子樹有左右之分，且子樹的次序不能顛倒。

• 二叉樹第 i 層上的節點數目最多爲 $2^{i-1} (i>=1)$

• 深度爲 k 的二叉樹至多有 $2^k - 1$ 個節點 (k >=1)

• 包含 n 個節點的二叉樹的高度至少爲 $log2(n+1)$

• 在任意一個二叉樹中，若葉子節點的個數爲 n , 度爲 2 的節點的個數爲 m , 則 n= m +1

二叉樹的種類

(1) 斜樹

(2) 滿二叉樹

葉子節點都在同一層，並且除了葉子節點外的所有節點都有兩個子節點。

(3) 完全二叉樹

對於一顆二叉樹，假設起深度爲 d (d > 1) , 除了第 d 層外的所有節點構成滿二叉樹，且第 d 層所有節點從左向右連續的緊密排列，這樣的二叉樹稱爲完全二叉樹。

（4）平衡二叉樹

它是一顆空樹或 他的左右兩個子樹的高度差的絕對值不超過 1， 並且左右兩個子樹都是一顆平衡二叉樹，同時，平衡二叉樹必定是二叉搜索樹。

（5）二叉查找樹

若任意節點的左子樹不爲空，則左子樹上所有節點的值均小於它的根節點的值；

若任意節點的右子樹不爲空，則右子樹上所有節點的值均大於它的根節點的值；

任意節點的左，右子樹也分別爲 二叉查找樹。