DP專題7 | 沒有上司的舞會洛谷1352（樹形DP）

原創

2019-07-30 08:21

本篇繼續咱們的DP專題，樹形DP入門。動態規劃每一個類型的DP都是深坑，期望童鞋們自己在這個系列的基礎上多花時間進行拓展，學習愉快~

在討論樹形DP之前，我想介紹一個比較有名的學習技巧——費曼技巧，因爲個人覺得可以嘗試着用在咱們的算法理解上。費曼這個人本身是一個很有意思的人，做科研和教育都非常厲害，另外後人還根據他的個人經歷拍了一部愛情片，是不是跨越有點大，好了，先說費曼定理。

2012年，加拿大人斯科特.H.楊（Scott H Young）用一年的時間自學完成了MIT公開課上正常情況下需要四年才能修完的計算機科學的33門課程，並最終通過了所有考試。在分享其學習方法的時候，他提到了費曼技巧，從此，費曼技巧進入了公衆視野。

那麼，費曼技巧到底是什麼呢？

在費曼的自傳裏，他提到曾糾結於某篇艱深的研究論文。他的辦法是，仔細審閱這篇論文的輔助材料（supporting material），直到他掌握了相關的知識基礎、足以理解其中的艱深想法爲止。

費曼技巧，也可以稱爲四步學習法：

第一步選擇一個你想要理解的概念

第二步設想一種場景，你正要向別人傳授這個概念

第三步如果你感覺卡殼了, 就回顧一下學習資料

第四步爲了讓你的講解通俗易懂，簡化語言表達

最終的目的, 是用你自己的語言, 而不是學習資料中的語言來解釋概念。

先看到這裏，下週會專門發一篇費曼技巧的文章。接着來看樹形DP題目。

現學現用，思考一下樹形DP的費曼解釋

假設你要對一個是7歲小學1年級學生講解，要怎樣解釋樹形DP呢？

首先假設這個小學生已經瞭解了DP（1年級能理解DP也是厲害了），那麼可以說：

樹形DP就是基於樹形搜索進行狀態轉移的DP。

好吧，還是很有難度的，有興趣的童鞋可以留言說出你的想法。

因爲樹形天生具有遞歸的性質，樹形DP一般都是通過深度優先搜索進行迭代，從葉子節點回溯到根節點的過程。

你可以想象自己在一棵倒掛樹的葉子節點上，一點點往根部爬。之前線性DP我們都是從f[0]這樣的位置一點點往f[n]這樣遞推，樹形DP是換了一種方式，從線性數組到樹形。

題目描述

某大學有N個職員，編號爲1~N。他們之間有從屬關係，也就是說他們的關係就像一棵以校長爲根的樹，父結點就是子結點的直接上司。現在有個週年慶宴會，宴會每邀請來一個職員都會增加一定的快樂指數Ri，但是呢，如果某個職員的上司來參加舞會了，那麼這個職員就無論如何也不肯來參加舞會了。所以，請你編程計算，邀請哪些職員可以使快樂指數最大，求最大的快樂指數。

輸入輸出格式

輸入格式：

第一行一個整數N。(1<=N<=6000)

接下來N行，第i+1行表示i號職員的快樂指數Ri。(-128<=Ri<=127)

接下來N-1行，每行輸入一對整數L,K。表示K是L的直接上司。

最後一行輸入0 0

輸出格式：

輸出最大的快樂指數。

本題是樹形DP的經典入門題目，因爲理解起來沒那麼複雜，轉移方程如下圖所示：

只用考慮上司去和不去2中狀態，進行狀態轉移。

源代碼：G++編譯

#include <limits.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <iostream>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
#include <string.h>
using namespace std;

#define N 6100

int h[N];
int v[N];
vector<int> children[N];
int dp[N][2];

void dfs(int x)
{
    // 對於葉子節點來說
    // 不去爲0分
    dp[x][0] = 0;
    // 去的話初始化爲自己的歡樂指數
    dp[x][1] = h[x];

    for(int i=0; i<children[x].size(); ++i){
        int y = children[x][i];
        // 先遞歸計算孩子的歡樂指數
        dfs(y);
        // 加上孩子的歡樂指數
        // 上司不去，孩子有可能去
        dp[x][0] += max(dp[y][0], dp[y][1]);
        // 上司去，孩子不去
        dp[x][1] += dp[y][0];
    }
}

int main() {
#ifdef __MSYS__
    freopen("test.txt", "r", stdin);
#endif

    int n;
    scanf("%d", &n);

    // 注意下標從1開始，因爲題目都是用下標來指定位置的
    for(int i=1; i<=n; ++i){
        scanf("%d", &h[i]);
    }

    for(int i=1; ; ++i){
        int c, p;
        scanf("%d%d", &c, &p);
        if(!c && !p)break;
        // 用於判斷是否爲根節點，只有根節點沒有parent
        v[c] = 1;
        // 用二維數組記錄父子關係
        children[p].push_back(c);
    }

    int root;
    for(int i=1; i<=n; ++i){
        if(!v[i]){
            root = i;
            break;
        }
    }
    // 開始樹形遞歸搜索（線性DP都是迭代搜索）
    dfs(root);
    printf("%d\n", max(dp[root][0], dp[root][1]));
    return 0;
}

下期預告：DP專題 8 | 狀態壓縮DP

往期回顧

DP專題 6 | 石子合併 CH5301（區間DP）

DP專題 5 | 顏色的長度 - UVA1625（線性DP）

DP專題 4 | 骨頭收集愛好者 - POJ 1458（ 0-1揹包）

DP專題 3 | LCS最長公共子序列 - POJ 1458

DP專題 2 | LIS POJ - 2533（經典DP）

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前綴和、二維前綴和與差分的小總結

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