洛谷P1641 [SCOI2010]生成字符串（排列組合+逆元）

原文鏈接：https://www.luogu.org/blog/user29936/solution-p1641

原文鏈接

https://www.luogu.org/blog/user29936/solution-p1641

題目鏈接

https://www.luogu.org/problem/P1641

題目描述

lxhgww最近接到了一個生成字符串的任務，任務需要他把n個1和m個0組成字符串，但是任務還要求在組成的字符串中，在任意的前k個字符中，1的個數不能少於0的個數。現在lxhgww想要知道滿足要求的字符串共有多少個，聰明的程序員們，你們能幫助他嗎？

輸入格式

輸入數據是一行，包括2個數字n和m

輸出格式

輸出數據是一行，包括1個數字，表示滿足要求的字符串數目，這個數可能會很大，只需輸出這個數除以20100403的餘數

輸入輸出樣例

輸入 #1

2 2

輸出 #1

2

說明/提示

limitation

每點2秒

對於30%的數據，保證1<=m<=n<=1000

對於100%的數據，保證1<=m<=n<=1000000

來源：SCOI 2010

題解

可以考慮把11的個數與00的個數的和看成xx座標，11的個數與00的個數的差看成yy座標，那麼如下圖：

向右上走（xx座標加11，yy座標加11）就表示這個字符選擇11。

向右下走（xx座標加11，yy座標減11）就表示這個字符選擇00。

這樣子，如果不考慮限制條件，就表示從(0,0)(0,0)走n+mn+m步到達(n+m,n-m)(n+m,n−m)，這相當於從n+mn+m步中選出mm步向右下走，也就是C(n+m,m)C(n+m,m)。

考慮限制條件，任意前綴中11的個數不少於00的個數，也就是這條路徑不能經過直線y=-1y=−1。可以通過對稱性發現，從(0,0)(0,0)走到直線y=-1y=−1上的一點，相當於從(0,-2)(0,−2)走到該點。也就是說，路徑經過直線y=-1y=−1的方案數就是從(0,-2)(0,−2)走n+mn+m步到達(n+m,n-m)(n+m,n−m)，這個方案數可以用組合數表示爲C(n+m,m-1)C(n+m,m−1)。

所以最後結果爲C(n+m,m)-C(n+m,m-1)C(n+m,m)−C(n+m,m−1)。對於組合數，可以預處理階乘後用乘法逆元計算。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=20100403;

ll ni[maxn*2],n,m;
void init(){
	ll i;
	memset(ni,0,sizeof(ni));
	ni[1]=1;
	for(i=2;i<n+m+1;i++)ni[i]=-ni[mod%i]*(mod/i)%mod+mod;
}
 
int main(){
	ll i,a1,a2;
	cin>>n>>m;
	init();
	a1=1;
	for(i=1;i<=n+m;i++){
		a1*=i;
		a1%=mod;
	}
	
	for(i=1;i<=n;i++){
		a1*=ni[i];
		a1%=mod;
	}
	
	for(i=1;i<=m;i++){
		a1*=ni[i];
		a1%=mod;
	}
	
	a2=a1;
	a2=((a2*ni[n+1])%mod*m)%mod;
	cout<<(a1-a2+mod)%mod;
	return 0;
}