積性函數&歐拉函數&莫比烏斯函數

積性函數

• （積性函數）.
  如果算術函數$f$對任意兩個互素的正整數a和b，$f(ab)=f(a)f(b)$，則$f$被稱爲積性函數（或乘性函數）；如果對任意兩個正整數a和b，$f(ab)=f(a)f(b)$，則$f$被稱爲完全積性函數（或完全乘性函數）。

• $如果f是一個積性函數，n是一個正整數，且n有素冪因子分解\\n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}, 則f(n)=f(p_1^{a_1})f(p_2^{a_2})...f(p_m^{a_m}).$

歐拉函數

• （歐拉函數$\phi(n)$）
  設$n$是一個正整數。歐拉$\phi$函數$\phi(n)$是不超過$n$且與$n$互素的正整數的個數;
  如果$n$是素數，$\phi(n)=n-1$；如果n是合數，$\phi(n)<n-1$.

• （$\phi$函數公式）
  如果p是一個素數，且k是正整數，則$\phi(p^k)=p^k-p^{k-1}$。
  如果m和n是互素的正整數，$\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$。
  所以，$\phi(n)$是積性函數，但不是完全積性函數。

• （$\phi(n)$計算公式）
  如果$n$有素因子分解$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_m^{a_m}$，那麼有歐拉$\phi$函數$\phi(n) = n*(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})...(1-\frac{1}{p_m})$

• （歐拉定理）
  如果$n$和$a$ 是互素的正整數，則$a^{\phi(n)}≡1 \mod n$.

• （a模n的階）
  設a和n是互素的整數，a>=0，n>0。使得$a^x≡1\mod n$成立的最小正整數x被稱爲a模n的階，並記爲$ord_na$。

• （原根）
  設a和n是互素的整數，且n>0。如果$ord_na = \phi(n)$，則稱a是模n的原根，並稱n有一個原根。

  如果正整數n有一個原根，那麼它有$\phi(\phi(n))$個不同餘的原根。

• (模$n$的既約剩餘系)
  模n的既約剩餘系是由$\phi(n)$個整數構成的集合，集合中的每個元素均與$n$互素，且任何兩個元素模$n$不同餘。

  定理：如果集合$\{r_1, r_2, …, r_n\}$是一個模n的既約剩餘系，並且$n$和$a$是互素的正整數，則集合$\{a*r_1,a*r_2, …,a*r_n\}$也是一個模$n$的既約剩餘系。

• 計算$\sum gcd(i,N)$
  首先，在從1到N的每個數中，如果$gcd(i, N)=p,（1<p\leq N）$，則i/p和N/p互素，且滿足$gcd(i, N)=p$的i的個數是$\phi(N/p)$，所以，相應的和爲$p*\phi(N/p)$。所以，要計算$\sum gcd(i,N)$，只需要根據gcd的值不同，分類進行計算即可，$\sum gcd(i,N)=\sum_{p|N} p*\phi(N/p)$.

莫比烏斯函數

考慮非平方數的因子個數，$f$的和函數$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$.
由此可見，$f(n)$等於$\pm F(n/d)$之和。

• （莫比烏斯函數）
  $\mu(n)=\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{lr} 1 & n=1\\ (-1)^m &n=p_1p_2...p_m,其中p_i爲不同的素數 \\0&其他 \end{array} \right. \end{aligned}$
• 定理：莫比烏斯函數$\mu(n)$是積性函數。、
• （莫比烏斯反演公式）
  設$f$是算術函數，$F$是$f$的和函數，$F(n)=\sum_{d|n}f(d)$,則$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(n/d)$。