【劍指offer】斐波那契數列

題目

大家都知道斐波那契數列，現在要求輸入一個整數n，請你輸出斐波那契數列的第n項（從0開始，第0項爲0）。
n<=39

題解

1. 遞歸法

1. 分析

斐波那契數列的標準公式爲：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*）
根據公式可以直接寫出：

2. 代碼

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n<=1){
            return n;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}

3. 複雜度

時間複雜度：$O(2^n)$
空間複雜度：$O(1)$

2. 優化遞歸

1. 分析

遞歸會重複計算大量相同數據，我們用個數組把結果存起來8！

2. 代碼

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        int ans[] = new int[40];
        ans[0] = 0;
        ans[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            ans[i] = ans[i-1] + ans[i-2];
        }
        return ans[n];
    }
}

3. 複雜度：

時間複雜度：$O(n)$
時間複雜度：$O(n)$

3. 優化存儲

1. 分析

其實我們可以發現每次就用到了最近的兩個數，所以我們可以只存儲最近的兩個數

• sum 存儲第 n 項的值
• one 存儲第 n-1 項的值
• two 存儲第 n-2 項的值

2. 代碼

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if(n == 1){
            return 1;
        }
        int sum = 0;
        int two = 0;
        int one = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            sum = two + one;
            two = one;
            one = sum;
        }
        return sum;
    }
}

3. 複雜度：

時間複雜度：$O(n)$
時間複雜度：$O(1)$

4. 持續優化

1. 分析

觀察上一版發現，sum 只在每次計算第 n 項的時候用一下，其實還可以利用 sum 存儲第 n-1 項，例如當計算完 f(5) 時 sum 存儲的是 f(5) 的值，當需要計算 f(6) 時，f(6) = f(5) - f(4)，sum 存儲的 f(5)，f(4) 存儲在 one 中，由 f(5)-f(3) 得到
如圖：

2. 代碼

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n == 0){
            return 0;
        }else if(n == 1){
            return 1;
        }
        int sum = 1;
        int one = 0;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            sum = sum + one;
            one = sum - one;
        }
        return sum;
    }
}

3. 複雜度

時間複雜度：$O(n)$
時間複雜度：$O(1)$