《劍指offer31》：連續子數組的最大和

這是《劍指offer》系列的第一篇，這個系列的文章主要用於記錄看書時的一些感想，做個記錄。

 

題目

輸入一個整型數組，數組裏有正數也有負數。數組中一個或連續的多個整數組成一個子數組。求所有子數組的和的最大值。要求時間複雜度爲O(n)。例：

思路

這裏採用動態規劃的思想：

• 第一步：做一個選擇，基於這個選擇產生一個或多個待解的子問題

這裏用函數  表示以第  個數字結尾的子數組的最大和，其中 。注意到函數  的不同取值構成了原題可能解的全集。例：當  的時候，有   。

這裏我們選擇子數組的結束位置  ，並且假定這個選擇是最優解。即：我們假設結束於下標爲  的子數組的最大和是原數組中所有子數組的最大和。

選擇了結束位置之後，數組下標 6 的右邊不用再進行考慮。那麼基於  產生子問題  ，意義是結束於下標爲   的子數組的最大和。

• 第二步：證明問題具有最優子結構性質，並得到遞歸式

使用“剪切 - 粘貼”反證法，證明在  的條件下問題具有最優子結構性質：

假設  不是數組區間  內結束於下標爲  的子數組的最大和，那麼我們將  從  中剪切去掉，並把最優解  粘貼其中得到  ， 則有 ，與“  是最優解”矛盾，故原假設不成立，得證。

這裏稍微有點繞，如下圖：

這裏我們證明的是：  區間在  的時候一定會被 區間包含。

注：這裏約束  的意義在於，當子問題的解是負數的時候，即使它是子問題能達到的最大值，也會拖了原問題的後腿，還不如直接等於  。例如  的子問題 ​ ​​​​​​,那結束於下標爲  的子數組的最大和應該等於  本身，即  。這是來自於我們定義這個函數時隱含的約束 

由此我們證明了原問題的最優解 “ 結束於下標爲  的子數組的最大和 ” 包含了它的子問題 “ 結束於下標爲  的子數組的最大和 ” 的最優解。我們稱這個問題具有最優子結構。

得到以下遞推式：

• 第三步：證明問題具有重疊子問題性質

如果遞歸算法反覆求解相同的子問題，我們稱最優化問題具有重疊子問題性質，這裏我們採用子問題圖來可視化子問題之間的依賴關係，其中節點代表子問題，弧代表調用關係：

例如規模爲4的子問題在求解時會調用規模爲3、2和1的子問題，而處理規模爲3的子問題的時候又會調用規模爲2和1的子問題，造成高昂的計算代價。

• 第四步：使用動態規劃進行求解

動態規劃求解分爲帶備忘錄的自頂向下法和帶表格的自底向上法。

以下附上劍指offer提供的自底向上法：

結語

動態規劃的題目常見，做多了題，有時候稀裏糊塗地套上去試一下能做出來。但一直不懂背後的原理。這篇主要是用《算法導論》裏面的分析手法分析了下《劍指offer》裏的題，得到了些粗淺的看法，以後還要多加練習。

 

Reference：

《算法導論》p216

《劍指offer》p171