原根與指標，離散對數

原根：

  定義

設m是正整數，a是整數，若a mod m 的階等於，則稱a爲模m的一個原根（表示m的歐拉函數）

當且僅當指數爲P - 1的時候，成立，則質數P的原根即爲g

       求解方法：1.將p-1進行質因數分解 

                         2.枚舉i，並判斷對於每個i是否都有，第一個符合i的即是P                       的最小原根

       對於合數，只要將2中的P-1替換成

對於等價於，可使用擴展歐幾里得求解x

  性質

• 若m爲原根，則恰好有個在模m下的不同原根

求原根g的模板：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 1e6+5;

LL p, primes[maxn], cnt;
bool vis[maxn];

LL fp(LL x, LL a){
    LL res = 1;
    for(x %= p; a; a >>= 1, x = x*x%p)
        if(a & 1) res = res * x % p;
    return res;
}

void get_prime(int x){    //篩出x以內的素數
    for(int i = 2; i <= x; i++){
        if(!vis[i]) prime[++cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt; j++){
            if(i * primes[j] > x) break;
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

bool check(LL x){    //檢查x是否是p的原根
    LL t = sqrt(x) + 10;
    for(int i = 1; i < prime[i] <= t; i++)
        if((p-1) % prime[i] == 0 && fp(x, (p-1)/prime[i]) % p == 1)
            return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%lld", &p);    //求模p的原根
    get_prime();
    
    for(int i = 1; i <= maxn; i++){
        if(check(i)){
            printf("%d\n", i);   //輸出的第一個數即爲最小原根
            return 0;
        }
    }
}

 

指標：

原根的作用就是爲了計算指標 （指標的表示符號）。

滿足 

最常見的應用：解模高次方程