貢獻思想 + 數論 + 思維（例題 Problem J. Prime Game）

首先說一下貢獻的思想：

舉個例子：已知有n個數，從 ，求 中所有質因數出現的個數。

假設當前數爲  6， 7， 5， 5， 4， 9， 9， 1， 8， 12

• 首先寫出他每個數的質因數：

每個數的質因數分解

6	7	5	5	4	9	9	1	8	12
2，3	7	5	5	2	3	3	0	2	2，3

• 那麼求任意區間質因數的個數，就可以轉化爲求解每個數在任意區間所作的貢獻度。

求解貢獻度

序號	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ai	6	7	5	5	4	9	9	1	8	12
質因數	2，3	7	5	5	2	3	3	0	2	2，3
貢獻度	(10) + (10)	9 + 9	8 + 8 + 8	7	6 + 6 + 6 + 6	5 + 5 + 5 + 5	4	0	2+2+2+2	1 + (1 + 2)

（求解貢獻度時要注意前面已經出現和計算過的數字不在計算，防止重複。如：質因數2的貢獻，在序號爲1處出現質因數爲2，此時他的貢獻度爲：

        [1, 1] , [1, 2], [1, 3] , [1, 4], [1, 5], [1, 6], [1, 7], [1, 8], [1, 9],  [1, 10]

在序號爲5處出現質因數2，此時他的貢獻度爲：

        [1, 5](這個已經被計算過一次，捨去)

           實際貢獻度：[5, 5] , [5, 6] , [5, 7] , [5, 8] , [5, 9] , [5, 10]

                                 [2, 5] , [2, 6] , [2, 7] , [2, 8] , [2, 9] , [2 , 10]

                                 [3, 5] , [3, 6] , [3, 7] , [3, 8] , [3, 9] , [3, 10]

                                 [4, 5] , [4, 6] , [4, 7] , [4, 8] , [4, 9] , [4, 10]

在序號爲9處出現質因數2， 此時他的貢獻度爲：

          實際貢獻度： [9, 9] , [9, 10]

                                 [6, 9] , [6, 10]

                                 [7, 9] , [7, 10]

                                 [8, 9] , [8, 10]

在序號爲10處出現質因數2，此時他的貢獻度爲：

        實際貢獻度：  [10, 10]

）

好處：

如果直接使用暴力的算法的話，時間複雜度爲，避免不了求區間的情況，但如果使用求貢獻度的思維去求，可以在O(n)的時間複雜度內完成

然後就是求解每個數的質因數分解：

可以直接用埃式篩法來得到：

const int maxn = 1e6+5;
int vis[maxn];
vector<int>v[maxn];
void init(){
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for(int i = 2; i < maxn; i++){
		if(!vis[i]){
			v[i].push_back(i);
			for(int j = 2*i; j < maxn; j += i){
				vis[j] = 1;
				v[j].push_back(i);
			}
		}
	}
}

然後就很好求解了。。。。。。。

 

一道例題：

 

這道題就是一道求貢獻度的題，只要理解上面就很好求解了：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 1e6+5;
int vis[maxn];
vector<int>v[maxn];
vector<int>pos[maxn];
int n;
int a[maxn];

void init(){
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	for(int i = 2; i < maxn; i++){
		if(!vis[i]){
			v[i].push_back(i);
			for(int j = 2*i; j < maxn; j += i){
				vis[j] = 1;
				v[j].push_back(i);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	init();
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	
	LL ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++){
		if(a[i] == 1) continue;
		int tmpnum = v[a[i]].size();
		for(int j = 0; j < tmpnum; j++){
			int now = v[a[i]][j];
			if(pos[now].size() == 0){
				ans += 1LL * (n - i + 1) * i;
				pos[now].push_back(i);
			}
			else{
				vector<int>::iterator it = pos[now].end(); it--;
				int tmppos = *it;
				ans += 1LL * (n - i + 1) * (i - tmppos);
				pos[now].push_back(i);
			}
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}