原根与指标，离散对数

原根：

  定义

设m是正整数，a是整数，若a mod m 的阶等于，则称a为模m的一个原根（表示m的欧拉函数）

当且仅当指数为P - 1的时候，成立，则质数P的原根即为g

       求解方法：1.将p-1进行质因数分解 

                         2.枚举i，并判断对于每个i是否都有，第一个符合i的即是P                       的最小原根

       对于合数，只要将2中的P-1替换成

对于等价于，可使用扩展欧几里得求解x

  性质

• 若m为原根，则恰好有个在模m下的不同原根

求原根g的模板：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int maxn = 1e6+5;

LL p, primes[maxn], cnt;
bool vis[maxn];

LL fp(LL x, LL a){
    LL res = 1;
    for(x %= p; a; a >>= 1, x = x*x%p)
        if(a & 1) res = res * x % p;
    return res;
}

void get_prime(int x){    //筛出x以内的素数
    for(int i = 2; i <= x; i++){
        if(!vis[i]) prime[++cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt; j++){
            if(i * primes[j] > x) break;
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) break;
        }
    }
}

bool check(LL x){    //检查x是否是p的原根
    LL t = sqrt(x) + 10;
    for(int i = 1; i < prime[i] <= t; i++)
        if((p-1) % prime[i] == 0 && fp(x, (p-1)/prime[i]) % p == 1)
            return 0;
    return 1;
}

int main()
{
    scanf("%lld", &p);    //求模p的原根
    get_prime();
    
    for(int i = 1; i <= maxn; i++){
        if(check(i)){
            printf("%d\n", i);   //输出的第一个数即为最小原根
            return 0;
        }
    }
}

 

指标：

原根的作用就是为了计算指标 （指标的表示符号）。

满足 

最常见的应用：解模高次方程