組合數奇偶性的判斷（附證明）

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方法一：

計算一下，然後看它的奇偶性；但是這個時間以及數據範圍上都不允許；

方法二

對於給定C(n,m)，檢查n！中2因子的個數與m！和(n-m)！中2因子個數和的關係，假設n!中2因子個數爲a，m!中2因子個數爲b，(n-m)!中2因子個數爲c，則顯然有a>=(b+c)；並且當a==b+c時，一定爲奇，否則爲偶。

方法三

由方法2可以很容易（稍後給出證明）地看出，n!中含有2因子的個數等於(n-它的二進制形式中1的個數)（每除一次如果有1的話去掉一個1）。那麼題意再次轉化爲求m,n-m以及n的二進制形式中1的個數。或者說，看n&m ?= m，這個呢，如果等於，那麼也就意味着，所有m中爲1的位置n一定爲1，那麼n-m就可以直接用二進制減，這樣得到的差的二進制中1的個數加上m中二進制1的位數正好等於n中1的位數，由前面可以知道，這就是一個奇數。

【關於方法三的證明】
先證明，若$n=2^m$，n！中2因子的個數爲$n-1$（即$2^m-1$）
首先我們知道一個計算n!中2因子個數的方法
$ans=[n/(2^1)]+[n/(2^2)]+[n/(2^3)]+...--（1）$
那麼由於此時的$n=2^m$，上述式子就是一個等比數列，求和可得$ans=2^m-1$

推廣到更普遍的情況$n!=2^m$
那麼我們肯定可以將n拆做：$n=2^{x1}+2^{x2}+2^{x3}+.....+2^{xm}--（2）$
將（2）代入（1）中，再次由等比數列求和，可得$ans=(2^{x1}-1)+(2^{x2}-1)+(2^{x3}-1)+....+(2^{xm}-1)$
然後打開括號~
完事兒

特別感謝stO ldx&cyk Orz