RNN(循環神經網絡)

DNN的特例CNN的模型和前向反向傳播算法，這些算法都是前向反饋的，模型的輸出和模型本身沒有關聯關係。今天我們就討論另一類輸出和模型間有反饋的神經網絡：循環神經網絡(Recurrent Neural Networks ，以下簡稱RNN)，它廣泛的用於自然語言處理中的語音識別，手寫書別以及機器翻譯等領域。

RNN概述

在前面講到的DNN和CNN中，訓練樣本的輸入和輸出是比較的確定的。但是有一類問題DNN和CNN不好解決，就是訓練樣本輸入是連續的序列,且序列的長短不一，比如基於時間的序列：一段段連續的語音，一段段連續的手寫文字。這些序列比較長，且長度不一，比較難直接的拆分成一個個獨立的樣本來通過DNN/CNN進行訓練。

而對於這類問題，RNN則比較的擅長。那麼RNN是怎麼做到的呢？RNN假設我們的樣本是基於序列的。比如是從序列索引1到序列索引τ的。對於這其中的任意序列索引號t,它對應的輸入是對應的樣本序列中的x(t)。而模型在序列索引號t位置的隱藏狀態h(t)，則由x(t)和在t−1位置的隱藏狀態h(t−1)共同決定。在任意序列索引號t，我們也有對應的模型預測輸出o(t)。通過預測輸出o(t)和訓練序列真實輸出y(t),以及損失函數L(t)，我們就可以用DNN類似的方法來訓練模型，接着用來預測測試序列中的一些位置的輸出。

下面我們來看看RNN的模型。

RNN模型

RNN模型有比較多的變種，這裏介紹最主流的RNN模型結構如下：
　　　　
　　　　上圖中左邊是RNN模型沒有按時間展開的圖，如果按時間序列展開，則是上圖中的右邊部分。我們重點觀察右邊部分的圖。

這幅圖描述了在序列索引號t附近RNN的模型。其中：

1）$x^{(t)}$代表在序列索引號t時訓練樣本的輸入。同樣的，$x^{(t-1)}$和$x^{(t+1)}$代表在序列索引號t−1和t+1時訓練樣本的輸入。

2）$h^{(t)}$代表在序列索引號t時模型的隱藏狀態。$h^{(t)}$由$x^{(t)}$和$h^{(t-1)}$共同決定。

3）$o^{(t)}$代表在序列索引號t時模型的輸出。$o^{(t)}$只由模型當前的隱藏狀態$h^{(t)}$決定。

4）L(t)代表在序列索引號t時模型的損失函數。

5）y(t)代表在序列索引號t時訓練樣本序列的真實輸出。

6）U,W,V這三個矩陣是我們的模型的線性關係參數，它在整個RNN網絡中是共享的，這點和DNN很不相同。 也正因爲是共享了，它體現了RNN的模型的“循環反饋”的思想。

RNN前向傳播算法

有了上面的模型，RNN的前向傳播算法就很容易得到了。

對於任意一個序列索引號t，我們隱藏狀態$h^{(t)}$由$x^{(t)}$和$h^{(t-1)}$得到：
$h^{(t)} = \sigma(z^{(t)}) = \sigma(Ux^{(t)} + Wh^{(t-1)} +b )$
　　　　其中σ爲RNN的激活函數，一般爲tanh, b爲線性關係的偏倚。

序列索引號t時模型的輸出o(t)的表達式比較簡單：
$o^{(t)} = Vh^{(t)} +c$
　　　　在最終在序列索引號t時我們的預測輸出爲:
$\hat{y}^{(t)} = \sigma(o^{(t)})$
　　　　通常由於RNN是識別類的分類模型，所以上面這個激活函數一般是softmax。

通過損失函數L(t)，比如對數似然損失函數，我們可以量化模型在當前位置的損失，即$\hat{y}^{(t)}$和$y^{(t)}$的差距。

RNN反向傳播算法推導

有了RNN前向傳播算法的基礎，就容易推導出RNN反向傳播算法的流程了。RNN反向傳播算法的思路和DNN是一樣的，即通過梯度下降法一輪輪的迭代，得到合適的RNN模型參數U,W,V,b,c。由於我們是基於時間反向傳播，所以RNN的反向傳播有時也叫做BPTT(back-propagation through time)。當然這裏的BPTT和DNN也有很大的不同點，即這裏所有的U,W,V,b,c在序列的各個位置是共享的，反向傳播時我們更新的是相同的參數。

爲了簡化描述，這裏的損失函數我們爲交叉熵損失函數，輸出的激活函數爲softmax函數，隱藏層的激活函數爲tanh函數。

對於RNN，由於我們在序列的每個位置都有損失函數，因此最終的損失L爲：
$L = \sum\limits_{t=1}^{\tau}L^{(t)}$
　　　　其中V,c,的梯度計算是比較簡單的：
$\frac{\partial L}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{\tau}\frac{\partial L^{(t)}}{\partial c} = \sum\limits_{t=1}^{\tau}\hat{y}^{(t)} - y^{(t)}$
$\frac{\partial L}{\partial V} =\sum\limits_{t=1}^{\tau}\frac{\partial L^{(t)}}{\partial V} = \sum\limits_{t=1}^{\tau}(\hat{y}^{(t)} - y^{(t)}) (h^{(t)})^T$
但是W,U,b的梯度計算就比較的複雜了。從RNN的模型可以看出，在反向傳播時，在在某一序列位置t的梯度損失由當前位置的輸出對應的梯度損失和序列索引位置t+1時的梯度損失兩部分共同決定。對於W在某一序列位置t的梯度損失需要反向傳播一步步的計算。我們定義序列索引t位置的隱藏狀態的梯度爲：
$\delta^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}$
　　　　這樣我們可以像DNN一樣從$\delta^{(t+1)}$遞推$\delta^{(t)}$。
$\delta^{(t)} =(\frac{\partial o^{(t)}}{\partial h^{(t)}} )^T\frac{\partial L}{\partial o^{(t)}} + (\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}})^T\frac{\partial L}{\partial h^{(t+1)}} = V^T(\hat{y}^{(t)} - y^{(t)}) + W^Tdiag(1-(h^{(t+1)})^2)\delta^{(t+1)}$
　　　　對於δ(τ)，由於它的後面沒有其他的序列索引了，因此有：
$\delta^{(\tau)} =( \frac{\partial o^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}})^T\frac{\partial L}{\partial o^{(\tau)}} = V^T(\hat{y}^{(\tau)} - y^{(\tau)})$
　　　　有了δ(t),計算W,U,b就容易了，這裏給出W,U,b的梯度計算表達式：
$\frac{\partial L}{\partial W} = \sum\limits_{t=1}^{\tau}diag(1-(h^{(t)})^2)\delta^{(t)}(h^{(t-1)})^T$
$\frac{\partial L}{\partial b}= \sum\limits_{t=1}^{\tau}diag(1-(h^{(t)})^2)\delta^{(t)}$
$\frac{\partial L}{\partial U} =\sum\limits_{t=1}^{\tau}diag(1-(h^{(t)})^2)\delta^{(t)}(x^{(t)})^T$
　　　　除了梯度表達式不同，RNN的反向傳播算法和DNN區別不大，因此這裏就不再重複總結了。

RNN小結

上面總結了通用的RNN模型和前向反向傳播算法。當然，有些RNN模型會有些不同，自然前向反向傳播的公式會有些不一樣，但是原理基本類似。

RNN雖然理論上可以很漂亮的解決序列數據的訓練，但是它也像DNN一樣有梯度消失時的問題，當序列很長的時候問題尤其嚴重。因此，上面的RNN模型一般不能直接用於應用領域。在語音識別，手寫書別以及機器翻譯等NLP領域實際應用比較廣泛的是基於RNN模型的一個特例LSTM，下一篇我們就來討論LSTM模型。