離散分佈概率：幾何分佈、二項分佈和泊松分佈

離散分佈主要包括3個重要的分佈：幾何分佈、二項分佈和泊松分佈，這裏主要介紹下這三種分佈解決的典型概率問題，區別和聯繫。

1. 幾何分佈：

問題：查德在任意一次滑雪中（假定每次滑雪都是獨立事件）不出事故順利抵達坡底的概率爲0.2，試問：查德不超過2次就能成功滑到坡底的概率有多大？

試滑一次成功的概率 P(X=1)=0.2

試滑兩次成功的概率爲P(X=2)=0.8x0.2=0.16

試滑不超過2次就成功的概率爲P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36

查德滑雪是幾何分佈的一個實例，幾何分佈包含以下幾個條件：

1）進行一系列相互獨立的試驗

2）每一次實驗都有成功的可能，也有失敗的可能，且單次成功的概率相同

3）主要感興趣的問題是，爲例取得第一次成功需要進行多少次試驗。

成爲幾何分佈，記爲：X~Geo(P)

進行r次實驗取得成功的概率爲：

                           P(X=r)=pq^r-1

其中q=1-p爲每次實驗失敗的概率

幾何分佈第一次試驗取得成功的概率是最高的，其概率分佈幾何形狀如下：

取得第一次成功需要進行r次以上試驗的概率：

                           P(X>r)=q^r

取得第一次成功需要進行r次以下（包括r）試驗的概率：

                           P(X>r)=1-q^r

需要進行多少次試驗取得第一次成功的期望：E(X)=1/p

需要進行多少次試驗取得第一次成功方差：Var(X)=q/p^2

2. 二項分佈：

問題：查德在任意一次滑雪中（假定每次滑雪都是獨立事件）不出事故順利抵達坡底的概率爲0.2，試問：查德試滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率有多大？

0次成功的概率 P(X=0)=0.8^5

1次成功的概率P(X=1)=C(5,1)x0.8^4x0.2

2次成功的概率P(X=2)=C(5,2)x0.8^3x0.2^2

試滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率：

P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

查德滑雪是二項分佈的一個實例，二項分佈包含以下幾個條件：

1）進行一系列相互獨立的試驗

2）每一次實驗都有成功的可能，也有失敗的可能，且單次成功的概率相同

3）主要感興趣的問題是，在有限的試驗次數中，取得幾次成功的概率。

條件1）和2）和幾何分佈一樣，只是關心的問題不一樣。

稱爲二項分佈，記爲：X~B(n,p)，其中n爲試驗次數，p爲一次試驗取得成功的概率

n次試驗取得r次成功的概率爲：          

其中q=1-p爲每次實驗失敗的概率，

二項分佈P(X=r)的分佈幾何形狀：

取得成功試驗次數的期望:

E(X)=np

取得成功試驗次數的方差：

Var(X)=npq

3. 泊松分佈：

問題：爆米花機器每一週的平均故障次數爲3.4次，或者說爆米花機的平均故障率爲3.4，試問：爆米花機器一週不初問題概率有多大？

這類問題的難點在於，儘管知道爆米花機器每一週的平均故障次數爲3.4次，但實際發生故障的次數不是固定的。專門處理這種問題的分佈--泊松分佈。

泊松分佈包括以下條件：

1）單獨事件在給定區間內隨機、獨立發生，給定區間可以是時間或者空間，例如一星期或者一英里。

2）已經該區間時間平均發生次數（或者叫發生率），且爲有限值，通常用lamda表示。

稱爲泊松分佈，記爲：X~Po(λ)

對泊松分佈，給定區間內，發生r次事件的概率：

泊松分佈的幾何形狀爲：

在給定區間內，取得成功試驗次數的期望:

E(X)=λ

取得成功試驗次數的方差：

Var(X)=λ

回到前面的爆米花機問題，爆米花機一週內不發生故障的概率爲

P(X=0)=e^-3.4 x 3.4^0/0!=e^-3.4=0.033

4）用泊松分佈近似二項分佈

問題：凱特是餅乾廠的質量管理員，每塊餅乾破碎的概率是0.1，求一盒容量爲100塊的餅乾盒子裏出現15塊碎餅乾的概率。

是一個二項分佈問題，X~(100, 0.1), 求P(X=15)=100!/(15!*85!)*0.1^15*0.9^85, 階乘數計算太大了，普通計算器容易出現溢出問題。

 

已知X~B(n, p)，當n很大且p很小時（n>50, p<0.1），可以用X~P0(np)近似X~B(n, p)

上述問題就變爲求解X~P0(10), P(X=15)的概率，帶入泊松分佈的概率求解方程即可求解。P(X=15)=e^-10*10^15/15!