离散分布主要包括3个重要的分布:几何分布、二项分布和泊松分布,这里主要介绍下这三种分布解决的典型概率问题,区别和联系。
1. 几何分布:
问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2,试问:查德不超过2次就能成功滑到坡底的概率有多大?
试滑不超过2次就成功的概率为P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36
2)每一次实验都有成功的可能,也有失败的可能,且单次成功的概率相同
3)主要感兴趣的问题是,为例取得第一次成功需要进行多少次试验。
几何分布第一次试验取得成功的概率是最高的,其概率分布几何形状如下:
需要进行多少次试验取得第一次成功方差:Var(X)=q/p^2
2. 二项分布:
问题:查德在任意一次滑雪中(假定每次滑雪都是独立事件)不出事故顺利抵达坡底的概率为0.2,试问:查德试滑5次中有2次以下成功滑到坡底的概率有多大?
1次成功的概率P(X=1)=C(5,1)x0.8^4x0.2
2次成功的概率P(X=2)=C(5,2)x0.8^3x0.2^2
2)每一次实验都有成功的可能,也有失败的可能,且单次成功的概率相同
3)主要感兴趣的问题是,在有限的试验次数中,取得几次成功的概率。
称为二项分布,记为:X~B(n,p),其中n为试验次数,p为一次试验取得成功的概率
3. 泊松分布:
问题:爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次,或者说爆米花机的平均故障率为3.4,试问:爆米花机器一周不初问题概率有多大?
这类问题的难点在于,尽管知道爆米花机器每一周的平均故障次数为3.4次,但实际发生故障的次数不是固定的。专门处理这种问题的分布--泊松分布。
1)单独事件在给定区间内随机、独立发生,给定区间可以是时间或者空间,例如一星期或者一英里。
2)已经该区间时间平均发生次数(或者叫发生率),且为有限值,通常用lamda表示。
P(X=0)=e^-3.4 x 3.4^0/0!=e^-3.4=0.033
4)用泊松分布近似二项分布
问题:凯特是饼干厂的质量管理员,每块饼干破碎的概率是0.1,求一盒容量为100块的饼干盒子里出现15块碎饼干的概率。
是一个二项分布问题,X~(100, 0.1), 求P(X=15)=100!/(15!*85!)*0.1^15*0.9^85, 阶乘数计算太大了,普通计算器容易出现溢出问题。
已知X~B(n, p),当n很大且p很小时(n>50, p<0.1),可以用X~P0(np)近似X~B(n, p)
上述问题就变为求解X~P0(10), P(X=15)的概率,带入泊松分布的概率求解方程即可求解。P(X=15)=e^-10*10^15/15!