2019HDU多校九6683--Rikka with Geometric Sequence(杜教篩+分塊)

參考鏈接

一.前置知識

莫比烏斯反演

數論分塊

杜教篩（這裏是篩歐拉函數,參見此文二、①--b）

 

二.題意及分析

①題意：給出1~n，求其中子序列能組成等比數列的數目

②初步分析：設公比爲，首項爲p，末項爲q，都爲整數。

由於很容易知道q必須要整除a^(k-1)。而這樣末項q有種。

而對於分母上，每一個a，由開頭公比定義，還有一個約束條件，就是必須有一個小於a並與a互質的數b，才能與他配對

因此兩條件需要同時滿足，得出式子：

③數學分析：

a.首先是很經典的杜教篩，這裏分塊一次鏈接

b.然後考慮後半部分：

k=1自成等比數列，k=2任意取出兩數也必成等比數列，結果易得。

k=3，分母是平方，所以是常規的分塊（第二次分塊）

k>3，暴力算*phi(a)，然後累加求和即可（見代碼註釋）因爲n最大1e17,需要枚舉個，最多也是不到1e6

 

三、代碼

#include <bits/stdc++.h>
 
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 40000000 + 10;//小範圍會莫名T ，大範圍會MLE 
const int mod = 998244353;
int pri[maxn], vis[maxn], cnt = 0, phi[maxn], sum[maxn];
void init() {//素數篩 
    vis[1] = phi[1] = 1;
    cnt = 0;
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        if (!vis[i]) {
            pri[++cnt] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for (int j = 1; j <= cnt && i * pri[j] < maxn; j++) {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if (i % pri[j] == 0) {
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
            phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
        }
    }
    for (int i = 1; i < maxn; i++) {
        sum[i] = (sum[i - 1] + phi[i]) % mod;
    }
}

//杜教篩部分 
unordered_map<ll, int> mp;
ll get_s1(ll x) { 
    x %= mod;
    ll tmp = x * (x + 1) / 2;
    return tmp % mod;
}
ll S_phi(ll x) {//左半部分歐拉函數前綴和 
    if (x < maxn) return sum[x];
    if (mp.count(x)) return mp[x];
    ll ans = 0;
    for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
        r = x / (x / l);
        ans = (ans + (r - l + 1) * S_phi(x / l) % mod) % mod;
    }
    ans = (get_s1(x) - ans + mod) % mod;
    return ans;
}

//歐拉函數前綴和，杜教篩結束 

ll get_sqrt(ll a) {
    ll x = (ll) sqrt(a);
    return x;
}

ll solve(ll n) {
    ll ans = (n % mod) * (n % mod + 1) / 2;
	//k=1爲n,k=2爲直接求和 
    ans %= mod;
    //k=3即n/a^2時 ，常規分塊 
    for (ll l = 2, r; l * l <= n; l = r + 1) {
        r = get_sqrt(n / (n / l / l));
        ans = (ans + n / l / l % mod * (S_phi(r) - S_phi(l - 1) + mod) % mod) % mod;
    }
    //k>3,n/a^(k-1 )，暴力求和begin 
    for (ll a = 2;; a++) {
        ll cur = a * a;
        if (cur > n / a) break;
        cur *= a;
        while (cur <= n) {
        	//*phi 
            ans = (ans + n / cur % mod * phi[a]) % mod;
            if (cur > n / a) break;
            cur *= a;
        }
    }
    //暴力end 
    
    return ans;
}
int main() {
    int T;
    init();
    scanf("%d", &T);
    while (T--) {
        ll n;
        scanf("%lld", &n);
        printf("%lld\n", solve(n));
    }
    return 0;
}