(三) 圖的最短路徑問題

1. 問題分類

（1）單源最短路徑問題：從固定源點出發，求其到所有其他頂點的最短路徑

無權圖
有權圖

（2）多源最短路徑問題：從固定源點出發，求任意兩頂點間的最短路徑

2. 無權圖的最短路徑算法

按照遞增（非遞減）的順序找出源點到各個頂點的最短路。
思想類似於BFS

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void Unweighted(Vertex s) {
    // visited[v] = true;
    Enqueue(s, Q);
    while(!isEmpty(Q)) {
        v = Dequeue(Q);
        for (v的每個鄰接點w) {
            if(dist[w]!=-1) { // dist初始化爲-1， dist[v] = 0
                // visited[v] = true;
                dist[w] = dist[v] + 1;
                path[w] = v; // path 初始化爲-1， s到w的路上經過v
                Enqueue(w, Q);
            }
        }
    }
}

3. 有權圖的最短路徑算法-----Dijkstra算法

按遞增的順序找出源點到各個頂點的最短路

算法：
令S={源點 s + 已經確定了最短路徑的頂點 $v_i$ }
對任一未收錄的頂點v，定義dist[v]爲 s 到 v 的最短路徑長度，但該路徑僅經過S中的頂點。即 $\{s->(v_i\in S)->v\}$ 的最小長度。
若路徑是按遞增（非遞減）的順序生成的，則：
- 真正的最短路必須只經過S中的頂點（反證法可驗證）
- 每次從未收錄的頂點中選一個dist最小的收錄（貪心）
- 增加一個 v 進到 S，可能影響另外一個w的dist值！（隻影響那些與v直接相連的頂點）
- dist[w] = min(dist[w], dist[v] + <v, w>)

void Dijkstra(Vertex s) {
	while (1) {
        v = 未收錄頂點中的dist最小的頂點;
        if(滿足條件的v不存在) {
            break;
        }
        collected[v] = true;
        for (v的每個鄰接點w) {
            if(!collected[w]) 
                if(dist[w] + <v, w> < dist[w]) {
                    dist[w] = dist[w] + <v, w>;
                    path[w] = v;
                }
        }
    }
}
// 不能解決有負邊的情況，dist[w] + <v, w> < dist[v]....

選擇未收錄頂點中dist最小的頂點

1）直接掃描所有未收錄頂點---- $O(|V|)$

Dijkstra算法時間複雜度 $T=O(|V|^2+|E|)$
對於稠密圖效果好
2）將dist存在最小堆中---- $O(log|v|)$
更新dist[w]— $O(log|V|)$
Dijkstra算法時間複雜度 $T=O(|V|log|V|+|E|log|V|)=O(|E|log|V|)$
對於稀疏圖效果好

3. 多源最短路徑算法-----Floyd算法

直接將單源最短路算法調用 |V| 遍
- $T=O(|V|^3+|E|\times|V|)$
- 對於稀疏圖效果好
Floyd算法
- $T=O(|V|^3)$
- 對於稠密圖效果好

算法：

$D^k[i][j]$ =路徑 $\{i->\{l<=k\}->j\}$ 的最小長度
$D^0, D^1, ..., D^{|V|-1}[i][j]$ 即給出了 i 到 j 的真正最短距離
從 $D^{k-1}$ 遞推到 $D^k$ ：
- 或者 $k\notin$ 最短路徑 $\{i->\{l<=k\}->j\}$ ，則 $D^k=D^{k-1}$
- 或者 $k\in$ 最短路徑 $\{i->\{l<=k\}->j\}$ ，則該路徑必定由兩段最短路徑組成：
  - $D^k[i][j]=D^{k-1}[i][k]+D^{k-1}[k][j]$

void Floyd() {
	for (i = 0; i < N; i++) {
        for (j = 0; j < N; j++) {
            D[i][j] = G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }
    }
    for (k = 0; k < N; k++) {
        for (i = 0; i < N; i++) {
            for (j = 0; j < N; j++) {
				if (D[i][k] + D[k][j] < D[i][j]) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    path[i][j] = k;
                }
            }
        }        
    }
}

4. 代碼實現

/* 鄰接表存儲 - 無權圖的單源最短路算法 */
 
/* dist[]和path[]全部初始化爲-1 */
void Unweighted ( LGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S )
{
    Queue Q;
    Vertex V;
    PtrToAdjVNode W;
     
    Q = CreateQueue( Graph->Nv ); /* 創建空隊列, MaxSize爲外部定義的常數 */
    dist[S] = 0; /* 初始化源點 */
    AddQ (Q, S);
 
    while( !IsEmpty(Q) ){
        V = DeleteQ(Q);
        for ( W=Graph->G[V].FirstEdge; W; W=W->Next ) /* 對V的每個鄰接點W->AdjV */
            if ( dist[W->AdjV]==-1 ) { /* 若W->AdjV未被訪問過 */
                dist[W->AdjV] = dist[V]+1; /* W->AdjV到S的距離更新 */
                path[W->AdjV] = V; /* 將V記錄在S到W->AdjV的路徑上 */
                AddQ(Q, W->AdjV);
            }
    } /* while結束*/
}

/* 鄰接矩陣存儲 - 有權圖的單源最短路算法 */
 
Vertex FindMinDist( MGraph Graph, int dist[], int collected[] )
{ /* 返回未被收錄頂點中dist最小者 */
    Vertex MinV, V;
    int MinDist = INFINITY;
 
    for (V=0; V<Graph->Nv; V++) {
        if ( collected[V]==false && dist[V]<MinDist) {
            /* 若V未被收錄，且dist[V]更小 */
            MinDist = dist[V]; /* 更新最小距離 */
            MinV = V; /* 更新對應頂點 */
        }
    }
    if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */
        return MinV; /* 返回對應的頂點下標 */
    else return ERROR;  /* 若這樣的頂點不存在，返回錯誤標記 */
}
 
bool Dijkstra( MGraph Graph, int dist[], int path[], Vertex S )
{
    int collected[MaxVertexNum];
    Vertex V, W;
 
    /* 初始化：此處默認鄰接矩陣中不存在的邊用INFINITY表示 */
    for ( V=0; V<Graph->Nv; V++ ) {
        dist[V] = Graph->G[S][V];
        if ( dist[V]<INFINITY )
            path[V] = S;
        else
            path[V] = -1;
        collected[V] = false;
    }
    /* 先將起點收入集合 */
    dist[S] = 0;
    collected[S] = true;
 
    while (1) {
        /* V = 未被收錄頂點中dist最小者 */
        V = FindMinDist( Graph, dist, collected );
        if ( V==ERROR ) /* 若這樣的V不存在 */
            break;      /* 算法結束 */
        collected[V] = true;  /* 收錄V */
        for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 對圖中的每個頂點W */
            /* 若W是V的鄰接點並且未被收錄 */
            if ( collected[W]==false && Graph->G[V][W]<INFINITY ) {
                if ( Graph->G[V][W]<0 ) /* 若有負邊 */
                    return false; /* 不能正確解決，返回錯誤標記 */
                /* 若收錄V使得dist[W]變小 */
                if ( dist[V]+Graph->G[V][W] < dist[W] ) {
                    dist[W] = dist[V]+Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */
                    path[W] = V; /* 更新S到W的路徑 */
                }
            }
    } /* while結束*/
    return true; /* 算法執行完畢，返回正確標記 */
}

/* 鄰接矩陣存儲 - 多源最短路算法 */
 
bool Floyd( MGraph Graph, WeightType D[][MaxVertexNum], Vertex path[][MaxVertexNum] )
{
    Vertex i, j, k;
 
    /* 初始化 */
    for ( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
        for( j=0; j<Graph->Nv; j++ ) {
            D[i][j] = Graph->G[i][j];
            path[i][j] = -1;
        }
 
    for( k=0; k<Graph->Nv; k++ )
        for( i=0; i<Graph->Nv; i++ )
            for( j=0; j<Graph->Nv; j++ )
                if( D[i][k] + D[k][j] < D[i][j] ) {
                    D[i][j] = D[i][k] + D[k][j];
                    if ( i==j && D[i][j]<0 ) /* 若發現負值圈 */
                        return false; /* 不能正確解決，返回錯誤標記 */
                    path[i][j] = k;
                }
    return true; /* 算法執行完畢，返回正確標記 */
}

(三) 圖的最短路徑問題

(三) 圖的最短路徑問題

1. 問題分類

2. 無權圖的最短路徑算法

3. 有權圖的最短路徑算法-----Dijkstra算法

算法：

選擇未收錄頂點中dist最小的頂點

3. 多源最短路徑算法-----Floyd算法

算法：

4. 代碼實現

Unity3D開發（編程）小技巧之三：計算兩個物體的相對座標

Unity3D開發（編程）小技巧之二：文字如打字機效果逐字出現

(一)圖（Graph）

(二) 圖的遍歷

(三) 圖的最短路徑問題

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