電子技術背後的數學本質【2】（反饋電路的分析和運算放大器）

接着上一篇的文章繼續對電子技術進行探討，上一篇把基本的數學知識介紹了一下，重點關注電工電路中的系統的頻率響應，可以看做是開環系統，而沒有涉及到閉環系統。而本篇我們就討論在電子設計中的閉環系統，尤其是關於系統穩定性的知識，雖然穩定性問題我們之前有所提及，這裏我們對其進行更深入的認知，並探討如何保證系統的穩定性，避免自激振盪的出現。然後以放大器作爲具體的設計實例，探討如何進行放大器的設計。

1.閉環系統分析基礎

1.1什麼是反饋

在《模擬電子技術基礎》中，有這麼一段話：反饋是指將電路中輸出電量的一部分貨全部通過反饋網絡，用一定的方式送回到輸入迴路，以影響輸入、輸出電量的過程。

具體什麼是反饋，我想只要是在這個領域摸爬滾打的人，都應該對反饋有所認知。

如下圖所示是十分常見的反饋的模型。這裏我們需要確定一些比較重要的參數：

1.誤差放大器環節：它接收信號 $x_d$ ，併產生輸出信號 $x_o$ ，且有以下關係：
$x_o=Ax_d$
其中， $A$ 爲該放大器的正向增益，也稱爲該電路的開環增益。

2.反饋網絡：該網絡對 $x_o$ 採樣，併產生反饋信號 $x_f$ ，且有以下關係：
$x_f=Fx_o$
其中F爲該反饋網絡的增益，稱爲該電路的反饋係數。有些時候也用 $\beta$ 來表示，稱爲反饋因子，實際上都是一個東西。

3.求和網絡，用 $\Sigma$ 來表示，它產生差值信號：
$x_d=x_i-x_f$
其中，由於差值信號是通過兩個信號量相減得到的，因此我們稱之爲負反饋，可以看出，如果系統是負反饋，則 $x_i$ 和 $x_f$ 應該是同號的。

4.一個閉環系統總是由上面三個部分構成，如果我們把 $x_i$ 看做輸入， $x_o$ 看做輸出，其他的變量視爲中間變量，那麼我們可以得到整個系統的輸入和輸出之間的關係：
$A_f=\frac{x_o}{x_i}=\frac{A}{1+AF}$
這裏 $A_f$ 稱爲電路的閉環增益。
可以看出因爲系統爲負反饋，因此 $x_i$ 和 $x_f$ 同號，因此AF>0，1+AF>1，因此 $A_f$ <A。這裏1+AF就被稱爲反饋量，或者叫反饋深度。

5.如果我們把環路斷開，讓信號沿着放大器、反饋網絡、求和器，那麼信號經歷的總增益爲-AF，該增益的負值稱爲環路增益：
$T=AF$

6.通過環路增益，我們可以把電路的閉環增益寫成： $A_f=\frac{1}{F}×\frac{T}{1+T}$ ，當 $T=\infty$ 時，理想閉環增益爲：
$A_{ideal}=\lim_{T-\infty}A_f=\frac{1}{F}$
$A_{ideal}$ 被稱爲理想閉環增益。

這裏我們對負反饋中的各個增益名稱進行了說明，後面我們會經常反覆的提及上述名詞，因此對於這些名詞我們一定要牢記在心。

總結一下：
$A$ 爲開環增益
F爲反饋係數
$A_f$ 爲閉環增益
1+AF爲反饋深度
$T=AF$ 爲環路增益
$A_{ideal}=\frac{1}{F}$ 爲理想閉環增益

1.2反饋電路的分類

運算放大器的反饋電路有以下四種基本的拓撲模型：

電壓串聯、電壓並聯、電流串聯、電流並聯

看起來很複雜，其實分開來說，是電壓/電流和串聯/並聯的組合，那麼我們在分類的時候其實是可以分開判斷的。

1.串聯反饋和並聯反饋
一句話概括，串聯並聯看輸入，輸入信號和反饋信號在不同極的是串聯，輸入信號和反饋信號在同極的是並聯。

該圖爲串聯反饋，可以看到，輸入信號和反饋信號不同極。

該圖爲並聯反饋，可以看到，輸入信號和反饋信號同極。

2.電壓反饋和電流反饋
一句話概括，電壓電流看輸出，反饋如在負載前爲電壓反饋，反饋如在負載後爲電流反饋。

如上圖，左邊反饋網絡取的信號是在負載之前，爲電壓信號。右圖反饋網絡取的信號是在負載之後，爲電流信號，因此左邊爲電壓反饋，右邊爲電流反饋。

那麼我們給出典型的四種拓撲形式的負反饋電路。

左上爲電壓並聯負反饋，右上爲電壓串聯負反饋，左下爲電流並聯負反饋，右下爲電流串聯負反饋。

現在我們已經能夠判斷一個放大器電路的反饋種類了。不過可能有些人會有個疑問，爲什麼我們要判斷放大器電路的種類？

這是因爲，我們在上一節討論反饋的各個參數的時候，使用的變量其實是x，這是因爲我們不確定具體的電路中，這個x到底代指的是電流還是電壓。而通過上述的分類，我們可以知道，如果是串聯反饋，表明加法器中的x爲電壓，如果是並聯反饋，表明加法器中的x爲電流。如果是電壓反饋，表明反饋網絡中的輸入爲電壓，如果是電流反饋，表明反饋網絡中的輸入爲電流。

這樣，通過確定一個電路的拓撲類型，我們就能確定上述反饋方程中各個變量在具體電路中的含義，才能對一個實際的電路進行分析。

例如：對於電壓串聯反饋，由於是串聯反饋，因此加法器中的參數爲電壓，有：
$v_d=v_i-v_f$

又因爲是電壓反饋，所以反饋網絡的採樣信號爲電壓信號，有：
$v_f=Fv_o$

這樣，我們知道了，對於電壓串聯反饋，其反饋方程爲：
$v_d=v_i-v_f$ $v_f=Fv_o$
同理可得：

電壓並聯反饋： $i_d=i_i-i_f$ $i_f=Fv_o$

電流串聯反饋： $v_d=v_i-v_f$ $v_f=Fi_o$

電流並聯反饋： $i_d=i_i-i_f$ $i_f=Fi_o$

這樣我們在分析不同拓撲的電路的時候，就注意應該採用基爾霍夫電壓定律還是電流定律，應該把反饋網絡看成跨阻的還是正常的。

1.3環路增益的求法

到現在爲止，我們已經知道了反饋電路中各個參數的定義，也能對實際的電路進行分類，並根據分類的結果寫出該電路的反饋方程式。下面我們需要做的，就是對方程式中各個參數進行具體的求值。

其中由於環路增益T在反饋理論中起着核心作用，所以我們這裏主要說明的是環路增益的求法。在求環路增益之前，我們先說，爲什麼環路增益在反饋理論中起了核心作用。

首先是因爲，環路增益越大，閉環增益越接近理想值。

通過之前的說明，我們知道了，閉環增益的方程爲：
$A_f=\frac{A}{1+AF}$

理想閉環增益爲：
$A_{ideal}=\frac{1}{F}$

二者之間的關係可以寫成：
$A_f=A_{ideal}×\frac{T}{1+T}=A_{ideal}×(1-\frac{1}{1+T})$

可以看出，若環路增益T越大，閉環增益的大小約接近於理想閉環增益，我們就越能忽略其開環增益A，而只需要關注反饋網絡F。

此外，T的大小還決定了電路是否穩定，我們在後面的內容會講解到。

總而言之，環路增益T的求取十分關鍵，那麼對於一個實際的複雜的電路，我們如何求得其環路增益呢？

這裏介紹一種方法，也是在放大器電路分析中常用的方法，就是先求反饋係數F（有些書本寫作 $\beta$ ），然後根據開環增益A，求環路增益：T=AF

舉例來說，對於下圖的放大器電路：

如果考慮實際的放大器電路，需要在該電路的基礎上進行一些改動，增加輸入電阻 $r_d$ 和輸出電阻 $r_o$ 。

實際電路模型爲：

該電路的反饋係數有以下公式：
$F=-\frac{v_d}{v_t}|_{x_i=0}$

那麼我們可以看到， $v_d$ 是由 $v_t$ 兩次分壓得到的，即：
$v_d=-1×\frac{R_1||R_d}{R_1||R_d+R_2}×\frac{(R_1||R_d+R_2)||R_L}{(R_1||R_d+R_2)||R_L+R_o}×v_t$

(這裏的-1是因爲上面的 $v_d$ 是以放大器的正極爲正，放大器的負極爲負，因此相對於 $v_t$ 反了一次相)

所以：
$F=-\frac{v_d}{v_t}|_{x_i=0}=\frac{R_1||R_d}{R_1||R_d+R_2}×\frac{(R_1||R_d+R_2)||R_L}{(R_1||R_d+R_2)||R_L+R_o}$

對該式子進行化簡得：
$F=\frac{1}{1+R_2/R_1+R_2/R_d}×\frac{1}{(1+R_o/((R_1||R_d+R_2)||R_L)}$

通過這個式子我們就得到了一個實際電路的反饋係數F，如果我們將該實際電路當做理想放大器來處理，則輸入電阻無窮大，輸出電阻爲零。那麼該反饋係數F就變爲：
$F=\frac{1}{1+R_2/R_1}=\frac{R_1}{R_1+R_2}$

可以看出，這個反饋係數在電路中就是反饋網絡的分壓的公式。

在根據已知的開環增益A（該數值一般都由廠家給出），我們就能得到環路增益T。

因此要求環路增益，就要先求反饋係數F。

2.運算放大器的靜態限制問題

在運算放大器的使用中，我們注意到，隨着頻率或增益的增加，放大器電路可能就慢慢的偏離我們所設計的性能。總結來說，這種性能的降低，主要有靜態限制和動態限制兩個問題。首先我們先來探討一下靜態問題。

所謂靜態問題，是指，即使我們將工作頻率保持在一個相對較低的水平，此時仍然有一些限制會影響到運算放大器的性能，這種限制就是靜態限制。

比較常見的有：輸入偏置電流 $I_B$ 、輸入失調電流 $I_{OS}$ 、輸入失調電壓 $V_{OS}$ 、交流噪聲密度 $e_n$ 和 $i_n$ ，以及需要考慮的一些問題包括熱漂移TC( $V_{OS}$ )、共模抑制比CMRR、饋電抑制比PSRR、增益非線性度等。

下面我們分別對這些問題進行一個說明。

2.1輸入偏置電流和輸入失調電流

定義：

實際運放的兩個輸入端並不是絕對的高阻，這就造成實際上的運算放大器是有電流流入的。假設對於運放來說，兩個極流入（流出）的電流大小爲 $I_P、I_N$ ，這裏這兩個值沒有方向，只關注大小。
這兩個值的均值爲輸入偏置電流：
$I_B=\frac{I_P+I_N}{2}$

這兩個值的差值爲輸入失調電流：
$I_{OS}=I_P-I_N$

範圍：

一般來說，輸入失調電流要小於輸入偏置電流，一般來說，常見的運算放大器，其輸入偏置電流和輸入失調電流的範圍從 $10^{-15}A到10^{-4}A$ 之間，常見的數值一般爲nA級。

影響：

輸入失調電流和輸入偏置電流主要影響的是信號的信噪比，這裏我們把輸入偏置電流等造成的影響視爲噪聲，關於其計算，我們將在下一節專門進行講解。

對策：

要解決輸入偏置電流的問題，一般來說沒有特別有效的方法，只能通過選擇低輸入偏置電流的運算放大器來解決。

2.2輸入失調電壓

輸入失調電壓定義：

在運放開環使用時，加載在兩個輸入端之間的直流電壓 $V_{OS}$ ，使得放大器的直流輸出爲0。

理解：

對於任何一個放大器，即使我們將它的兩個輸入端都接地，其輸出也不爲零。此時我們在正輸入端加上一個可調電壓，通過調整電壓，最終使放大器的輸出爲0，這個電壓值的負值就是輸入失調電壓。它可以看成放大器的正輸入端在進入放大器前，串聯了一個電壓源，導致即使正輸入端接地，進入到放大器後的電壓也不爲零。

範圍：

最好的能達到1uV以下，比較好的能達到100uV以下，最大的能達到幾十mV。

影響：

如果我們的放大器的閉環電壓增益爲 $A_F$ ，當放大器輸入爲零時，輸出存在一個等於 $A_FV_{OS}$ 的直流電平，此輸出被稱爲輸出失調電壓。閉環增益越大，則輸出失調電壓越大。

對策：如果我們的放大器主要關注的是電平的直流成分，那我們就必須選擇輸入失調電壓遠小於輸入直流量的放大器，或者通過運放的調零措施來消除這個影響。如果我們僅僅關注被測信號中的交流成分，我們可以在輸入和輸出端增加交流耦合電路，來消除輸入失調電壓的影響。

2.3輸入失調電壓漂移

輸入失調電壓漂移：

定義：

當溫度變化、時間推移、供電電壓等環境變化時，輸入失調電壓會發生變化。

影響：

當我們在使用運算放大器時，即使我們之前已經做好了調零，把運算放大器本身具有的輸入失調電壓的影響給去除了，但是隨着時間的推移，或者如果周圍環境溫度發生變化等因素，運算放大器又會產生新的輸入失調電壓。

對策：

首先我們在選型的時候儘量選擇漂移係數比較小的運放。其次，有些運放具有自歸零技術。

2.4共模抑制比

定義：

運放的差模電壓增益與共模電壓增益的比值，單位爲dB。
$CMRR=20\log\frac{A_d}{A_c}$

理解：

我們之前認爲，運算放大器電路只對輸入之間的電壓差進行放大，但是實際上運算放大器對於共模輸入電壓也是敏感的，只是這個敏感的程度比較小。那麼假設對差模電壓的增益爲 $A_d$ ，對共模電壓的增益爲 $A_c$ ，那麼有，總的輸出電壓爲：
$v_o=A_d(v_P-v_N)+A_c(\frac{v_P+v_N}{2})=A_d(v_P-v_N)+A_c v_{CM}$

這裏，帶入上述共模抑制比的概念，我們可以得到：
$v_o=A_d[v_P-v_N+\frac{v_{CM}}{CMRR}]$

可以看出， $\frac{v_{CM}}{CMRR}$ 的共同作用，相當於在差模電壓的基礎上由增加了一個電壓，這個和我們之前所說的輸入失調電壓的作用效果是相似的，因此我們可以將係數 $\frac{1}{CMRR}$ 解釋爲，當共模電壓每增加1V，所產生的輸入失調電壓的變化率。

範圍：

共模抑制比帶來的問題，典型值有90dB，相當於31.6uV/V的變化率。較差的70dB，相當於316uV/V的變化率。較好的110dB，相當於3.16uV/V的變化率。

影響：

通過上面的分析，我們可以把共模抑制比的影響看做等效於新增加的輸入失調電壓來分析。

2.5電源抑制比

定義：供電電源的微小變化，也會對輸出電壓產生影響。與差模抑制比類似，如果我們把這種影響轉移到輸入端，相當於輸入端電壓的改變值，這種關係用電源抑制比來表示。

$\frac{1}{PSRR}=\frac{△V_{OS}}{△V_S}$

表示，電源每1V的變化帶來的相當於輸入偏置電流電壓的變化。

範圍：

類似上面共模抑制比的範圍。但是值得注意的是，許多運算放大器的正負電源的電源抑制比並不相同。且共模抑制比隨着頻率的變化而變化，一般來說，頻率越高，共模抑制比越小。因此在對運算放大器供電時，需要對電源的高頻成分進行一個濾除。

影響：

輸入偏置電壓類似。

對策：

選擇高電源抑制比的運算放大器，對運算放大器的電源電路進行合理的濾波。關於電路濾波，可以參考上一篇的內容。

2.6小結

總的來說，我們所談論的這些問題，其實主要關注的就是輸入失調電流、輸入偏置電流和輸入失調電壓，其他的問題或多或少都可以向上面三個問題轉化。而我們關注這些量值，除了有利於我們進行選型以外，還有一個十分重要的方面，就是涉及到電路噪聲的估計和計算。關於運算放大器噪聲的問題，我們將在下一篇文章中重點介紹。

這裏先拋去上述的靜態限制，我們先來關注一個運放的設計和動態響應。也就是下面的內容。

3.運算放大器的動態限制問題

實際上的運算放大器，只能對一定頻率內的信號提供一個較高的增益，對於超過該頻率的信號，運算放大器的增益會隨着信號頻率的增加而減小。且運算放大器的輸出和輸入之間存在延時。這些問題都是運算放大器對於動態的信號所存在的一些使用上的限制問題。本節內容就重點關注這些問題。

包括：單位增益頻率 $f_t$ ，增益帶寬乘積GBP，閉環帶寬 $f_B$ ，全功率帶寬FPB，上升時間 $t_R$ ，轉換速率SR和建立時間 $t_s$ 。

3.1開環響應與頻率

回到我們之前所時候的運算放大器的設計問題。

我們知道了運算放大器的環路增益T=AF，F的求法我們之前已經說明了，那麼剩下的就是運算放大器的開環響應A。

運算放大器的開環響應A往往由廠家提供，現實中的開環響應是與頻率有關的，一般來說，在一定頻率範圍內，開環響應能夠保持一個較大的常數，但是隨着頻率的增加，開環響應可能會隨之減小。一般常見的開環響應是主極點響應，它的頻譜主要受一個極點控制，由廠家實現，將其他的極點放在了單位增益以下，這樣就可以忽略其他的極點的影響。

主極點響應使得運算放大器的開環增益類似一個RC低通濾波器，在低頻段增益爲 $a_0$ ，在頻率 $f_b$ 處開始滾降。這個滾降處的頻率就是主極點頻率。下圖可以發現，這個頻率大概爲5Hz。

通過之前我們所說的系統的頻率響應表達式，這裏我們可以將下圖近似表達爲：

$A(jf)=\frac{a_0}{1+j(f/f_b)}$

這裏 $a_0$ 爲開環直流增益， $f_b$ 是開環-3dB頻率，也稱爲開環帶寬。

圖中我們可以發現，當增益爲1時，開環頻率響應的頻率爲單位增益頻率，用 $f_t$ 表示。該圖中 $f_t$ 約爲8MHz。

我們知道，當滾降的斜率爲-20dB/dec時，相當於頻率每增大十倍，增益增益減小十倍。那麼在該線性區域內，頻率和增益的乘積將會是一個常數。這個常數就叫做增益帶寬積GBW。

理論上來說，增益帶寬積相當於當增益爲單位增益時的頻率，即上述的單位增益頻率，也相當於在開環帶寬下的增益。如下圖的運算放大器，我們查表可以得到其GBW爲8MHz，而其表格中沒有給出 $f_t$ 。

3.2環路增益T在動態響應中的分析方法

T=AF，到這裏，我們已經得到了A在動態響應中的伯德圖。

對於反饋係數F，通過我們之間的分析，結合上一篇對於系統的分析，我們很容易也能想到，F也是一個和頻率有關的系統性能，因此我們也可以得到F的伯德圖。

已知兩者的動態響應，我們如何進行運算，來得到環路增益T的伯德圖呢？

我們讓 $T=\frac{A}{1/F}$

通過伯德圖表示，我們知道，
$20\log T=20\log A - 20\log \frac{1}{F}$

這樣我們就可以先得到開環增益A和反饋因子 $\frac{1}{F}$ 的伯德圖，再將兩個Bode圖相減，就得到了環路增益T的Bode圖。

這種分析方法是分析放大器動態響應常用的方法，這裏一定要充分理解。

3.3閉環響應與頻率

開環響應依賴於頻率變化而變化，同樣的，閉環響應也是如此。

對於同相放大器來說，閉環響應爲：
$A_f(jf)=\frac{A(jf)}{1+A(jf)F}$

且我們已知了該放大器的開環響應和反饋係數：
$A(jf)=\frac{a_0}{1+j(f/f_b)}$

$F=\frac{R_1}{R_1+R_2}$

代入上式化簡可以得到：
$A_f(jf)=\frac{a_0(R_2+R_1)}{a_0R_1+R_1+R_2}×\frac{1}{1+j(f/(f_b(1+a_0\frac{R_1}{R_1+R_2})))}$

這裏我們令：
$A_0=\frac{a_0(R_2+R_1)}{a_0R_1+R_1+R_2}$

$f_B=f_b(1+a_0\frac{R_1}{R_1+R_2})$

則原式可以寫爲：
$A_f(jf)=A_0×\frac{1}{1+j(f/f_B)}$

可以看出，同相放大器的閉環響應的方程式和開環響應的方程式在形式上是一致的，都是一個低通濾波器的形式，只是直流增益 $A_0$ 和閉環帶寬 $f_B$ 不同。

那麼閉環增益中直流增益 $A_0$ 和閉環帶寬 $f_B$ 具體是多少呢？

對於閉環直流增益 $A_0$ ，當開環直流增益 $a_0$ 無限大時，有
$A_0=\frac{a_0(R_2+R_1)}{a_0R_1+R_1+R_2}=\frac{R_1+R_2}{R_1}=\frac{1}{F}$

可以看出，閉環直流增益的大小爲1/F，這與我們之前在直流條件下求出來的結果是一樣的，分母中忽略的項也就是我們之前所述的增益誤差。

而閉環帶寬 $f_B$ 則爲閉環直流增益 $A_0$ 和開環增益的交點頻率。
$f_B=f_b(1+a_0F)=Ff_t$

可以看出，引入負反饋之後，增益下降，但是帶寬增加。

對於反向放大器來說，其閉環增益類似的進行分析，仍可以得到以下公式：
$A_f(jf)=A_0×\frac{1}{1+j(f/f_B)}$

但是這裏的 $A_0$ 和 $f_B$ 有所不同：
$A_0=-\frac{R_2}{R_1};f_B=Ff_t$

可以看出，轉折頻率沒變，但是直流增益減少，因此反相放大器的圖形就像是同相放大器向下平移一段距離。

3.4壓擺率和全功率帶寬

對於運算放大器來說，如果輸入是一個階躍信號，則輸出需要過一段時間才能跟隨輸出。這意味着，運算放大器的輸出和輸入之間是存在一個延時的。

如果階躍輸入大於某個數值時，放大器的輸出就按照某個固定斜率的直線上升到該電壓，這個斜率就是我們所說的壓擺率（轉換速率）SR。它表明，該運算放大器能夠實現的最大的變化速率，單位一般爲伏特每微秒V/us。

下圖爲某運算放大器的SR，典型值爲2.8V/us，也就是說，如果放大器需要跟隨一個14V的輸出，需要5us。

對於正弦信號，我們知道，正弦信號的頻率越大，信號變化的速率越大，正弦信號的幅值越大，信號變化的速率越大。那麼正弦信號的頻率和幅值與壓擺率的關係是什麼呢？

$fV_{om}<\frac{SR}{2\pi}$

只要滿足該頻率信號的幅值和頻率的乘積小於壓擺率除以2π，該正弦信號就不會失真。

由此引出一個叫全功率帶寬FPB的定義，如果運算放大器產生具有最大可能幅度的不失真交流輸出時的最大頻率。一般來說，最大可能幅度爲供電電壓，因此FPB有：
$FPB=\frac{SR}{2\pi V_{sat}}$

4.運算放大器的穩定性問題

我們在之前已經對放大器的靜態和動態問題進行了討論。看似我們已經可以通過設計來實現一個負反饋放大器了（通過合理的選擇開環增益A和反饋係數F）。但是我們通過上一篇的學習知道，負反饋中存在着穩定性問題，當電路存在着振盪的可能，該電路就無法實現正常的運行。因此我們在設計一個能夠正常運行的放大器時，放大器的穩定性問題是一定要考慮到的。

4.1穩定性的傳統判據

關於反饋電路的穩定性問題，我們在上一篇中已經介紹過了。

簡單理解，當某一頻率的信號經過各個環節反饋到輸入信號時，變成了正反饋，且最終信號的增益大於1時，該信號就會被不斷放大，從而產生振盪。因此在相位差達到-180°時，系統此時的增益倍數小於1，則不會振盪，且該分貝數的倒數爲增益裕度，意味着此時系統還可以將增益增大多少倍而不至於產生振盪。

另一種理解方法是，當系統的增益倍數爲1時，系統的相位距離-180°的角度，稱爲相位裕度 $\phi_m$ 。

如何判斷系統的穩定性，就通過上面兩個方法來判斷。具體更詳細的解釋，請參考上一篇文章的講述。

這裏再提以下峯值和振鈴與相位裕度的關係。

我們通過之前的學習知道，對於二階系統來說，如果阻比係數太小或者品質因數太大，都會引起峯值GP和振鈴OS的現象，這種現象一般來說是不利於信號的傳輸的。

通過二階系統的分析，我們發現，尖峯現象和振鈴現象存在着一定的關係，如下：
$\phi_m=60°時，GP=0.3dB，OS=8.8 \%$

$\phi_m=45°時，GP=2.4dB，OS=23 \%$

可以看出，相位裕度越小，峯值和振鈴現象越嚴重，因此一般來說，我們希望相位裕度越大越好。

4.2通過截止速率來判斷穩定性

通過傳統的穩定性判據，我們需要同時得到系統的幅頻特性和相頻特性。但是在實際設計中，我們往往只關注幅頻特性，因爲相頻特性的疊加較爲麻煩，如果沒有計算機幫助，我們很難精確的同時畫出系統的幅頻特性和相頻特性並進行對應的穩定性判斷。

於是這裏我們介紹一種在運放穩定性判斷中十分常用的一種方法，那就是截止速率判斷方法。

這裏就用到了我們上一節所說的，環路增益T在動態響應中的分析方法。

首先我們根據運算放大器的開環增益和反饋係數，繪製出開環增益曲線A和反饋係數的倒數 $\frac{1}{F}$ 的幅頻特性曲線。

然後找到兩條曲線的交點，該交點的頻率稱爲交叉頻率 $f_x$ 。

找到子交叉頻率下兩條曲線的斜率： $Slope(A)|_{f=f_x}$ 和 $Slope(1/F)|_{f=f_x}$ ，

兩個斜率的差的幅度稱爲截止速率ROC：
$ROC=|Slope(A)-Slope(1/F)|_{f=f_x}$

然後我們帶入以下式子來估計該運算放大器的相位裕度 $\phi_m$ ：
$ROC=20dB/dec→\phi_m=90°$

$ROC=30dB/dec→\phi_m=45°$

$ROC=40dB/dec→\phi_m=0°$

$ROC>40dB/dec→\phi_m<0°$

由此可見，如果兩個曲線的斜率差大於等於40dB/dec，那麼我們就認爲該系統存在不穩定的可能，需要我們進行補償。

舉例來說：

對於上圖所示的電路，其反饋網絡中存在阻抗元件，導致反饋係數爲一個低通濾波器時，且低通濾波器的轉角頻率小於開環增益的單位增益頻率，那麼就會得到以下的兩條曲線A和1/F：

可見，在交叉頻率處，兩曲線的斜率差爲40dB/dec，那麼此時系統就面臨着穩定性的問題，處在振盪的邊緣。（即使不振盪，由於相位裕度爲0，因此此時的尖峯和振鈴程度無限大，對於電路來說也是不可接受的）

4.3穩定性的補償

如果我們的電路是不穩定的，那麼如何來改善我們電路的性能，使得電路能夠達到一定的穩定性呢？

我們的思路是，想辦法在交叉頻率處，使得截止速率減小。對於開環增益曲線，我們能做的不多，但是對於反饋係數F，我們卻可以自行設計。因此我們的突破點就在於，如何修改電路，使得1/F曲線在交叉頻率處的斜率小於20dB/dec。

還是以剛纔的電路圖爲例，第一種方法是，在電容旁邊串聯一個電阻R。

這樣，1/F曲線就又增加了一個拐點，如下圖：

如果新增加的拐點恰好爲原來的交叉頻率，則此時的ROC=30dB/dec，也就是說，系統具有45°的相位裕度。如下圖：

如果需要更大的相位裕度，可以進一步縮小第二個拐點的頻率，但是這是以進一步縮小接近理想爲分期特性的頻率範圍爲代價的。

第二種方法是通過雜散電容的選擇來進行補償。

對於以下電路：

如果沒有雜散電容C2的話，反饋係數曲線1/F只有一個拐點，因此在交叉頻率處的ROC=40dB/dec，系統不穩定。

通過選擇合理的C2，使得反饋係數曲線1/F新增加一個拐點，且新增加的拐點的頻率等於原來的交叉頻率，則此時的ROC=30dB/dec，系統的相位裕度爲45°。

若新增加的拐點頻率比原有的拐點頻率還要小，那麼反饋係數曲線1/F就是一條直線，此時ROC=20dB/dec，系統的相位裕度爲90°。這種技術叫做中和補償。

上述各種補償行爲，一般來說都是以犧牲帶寬爲代價。因此我們並不是一定要追求十分大的相位裕度，作爲一名工程師，需要在各個參數之間尋找到平衡參數。