電子技術背後的數學本質【1】（以及常見電路的數學本質分析）

最近在做一些項目的時候，需要在高速情況下對小信號進行放大器的設計。因此對阻抗、頻率響應、諧振等問題進行了深入了分析，發現原來過去所學的電工學基礎、模擬電子技術基礎、控制論等學科之間有着相互緊密的聯繫。因此這裏把這些問題全部從新梳理一遍，然後挖掘各部分之間的關係。並以此來解決一個實際要用到的運算放大器的設計。

1.復阻抗

1.1阻抗的定義

對於阻抗這一部分，主要是在電工學基礎這門課程裏，第一次接觸到這個概念。其實但就阻抗來說，其定義非常簡單，就是任何兩端器件，無論在什麼時候，都可以將兩端的電壓除以流經的電流來得到阻抗。即
$Z=V/I$
但是我們知道，當輸入（假設爲電壓）爲某種頻率的正弦波信號時，如果負載呈容性或者感性，對應的輸出（假設爲電流）就是在該頻率的正弦波信號基礎上，進行幅值和相位的改變。此時的阻抗爲：
$電壓：u(t)=U_0cos(\omega t+\varphi_u)$
$電流：i(t)=I_0cos(\omega t+\varphi_i)$
$阻抗：z(t)=\frac{u(t)}{i(t)}=\frac{U_0}{I_0} \frac{cos(\omega t+\varphi_u)}{cos(\omega t+\varphi_i)}$

觀察上述阻抗，當頻率已知時，阻抗的有用信息就只有幅值和相移。這兩個也是我們所關心的數值。
通過高等數學的學習，我們瞭解到，可以通過歐拉公式，將三角函數轉化爲複數。即：
$e^{jx}=cosx+jsinx$
因此，爲了方便計算，以及更直觀的瞭解阻抗，我們通過歐拉公式對上式進行轉化：
$覆電壓：\widetilde U(t)=U_0e^{j(\omega t+\varphi_u)}=U_0cos(\omega t+\varphi_u)+jU_0sin(\omega t+\varphi_u)$
$覆電流：\widetilde I(t)=I_0e^{j(\omega t+\varphi_i)}=I_0cos(\omega t+\varphi_i)+jI_0sin(\omega t+\varphi_i)$
$復阻抗：\widetilde Z = \frac{\widetilde U}{\widetilde I}=\frac{U_0}{I_0}e^{j(\varphi_u - \varphi_i)}$

通過上述的分析過程，我們分別對理想電阻、理想電容、理想電感進行分析。

1.2理想電阻的復阻抗

對於理想電阻來說，電阻流過的電流爲$I_0cos(\omega t)$（$I_0e^{j(\omega t)}$），那麼電阻兩端的電壓爲
$V=I_0cos(\omega t)*R$
$\widetilde V=I_0Re^{j(\omega t)}$
則阻抗爲
$Z=\frac{V}{I}=\frac{I_0sin(\omega t)*R}{I_0sin(\omega t)}=R$
$\widetilde Z= \frac{\widetilde U}{\widetilde I}=\frac{I_0Re^{j(\omega t)}}{I_0e^{j(\omega t)}} =R$
也就是說，理想電阻在頻域內，阻抗都是相等的，與正弦電流的頻率無關。
從復阻抗分析，其復阻抗也爲R。

1.3理想電容的復阻抗

對於理想電容來說，電容兩端的電壓爲$V_0cos(\omega t)$（$V_0e^{j(\omega t)}$），則流過電容的電流爲

$I=C\frac{d}{dt}V_0sin(\omega t)=\omega CV_0cos(\omega t)$
$\widetilde I=C\frac{d}{dt}V_0e^{j(\omega t)}=j\omega CV_0e^{j(\omega t)}$

則阻抗爲

$Z=\frac{V}{I}=\frac{V_0sin(\omega t)}{\omega CV_0cos(\omega t)}=\frac{1}{\omega C}*\frac{sin \omega t}{cos \omega t}$
$\widetilde Z= \frac{\widetilde U}{\widetilde I}=\frac{V_0e^{j(\omega t)}}{j\omega CV_0e^{j(\omega t)}} =\frac{1}{j \omega C}=-j\frac{1}{\omega C}$

也就是說，對於理想電容來說，通過$\frac{1}{\omega C}$，我們可以知道，輸入正弦電壓的頻率增加時，電容的阻抗減小。通過$\frac{sin \omega t}{cos \omega t}$我們可以知道，輸入和輸出有-90度的相移（cosx和sinx的相位差爲-90度）。
通過復阻抗我們可以很直觀的把相移和阻抗幅值同時表示，即
$Z=-j\frac{1}{\omega C}$
其中-j就表示了相位差-90度。阻抗幅值爲$\frac{1}{\omega C}$。

1.4理想電感的復阻抗

對於理想電感來說，電感流過的正弦電流爲$I_0cos(\omega t)$（$I_0e^{j(\omega t)}$），那麼電感產生的電壓爲

$V=L\frac{d}{dt}I_0sin(\omega t)=\omega LI_0cos(\omega t)$
$\widetilde V=L\frac{d}{dt}I_0e^{j(\omega t)}=j\omega LI_0e^{j(\omega t)}$

則阻抗爲

$Z=\frac{V}{I}=\frac{\omega LI_0cos(\omega t)}{I_0sin(\omega t)}=\omega L * \frac{cos \omega t}{sin \omega t}$
$\widetilde Z= \frac{\widetilde U}{\widetilde I}=\frac{j\omega LI_0e^{j(\omega t)}}{I_0e^{j(\omega t)}} =j \omega L$

也就是說，對於理想電感來說，通過$\omega L$可以知道，頻率增加時，電感的阻抗也增加。通過$\frac{cos \omega t}{sin \omega t}$可以知道，輸入和輸出有90度的相移（sinx和cosx的相位差爲90度）。
通常我們用複數來表示，即
$Z=j \omega L$
其中j就表示了相位差爲90度，阻抗幅值爲$\omega L$。

1.5題外話

到這裏，電路中的所有的阻抗類型我們都已經分析完了。這裏歐拉公式確實是十分優美的公式，歐拉公式把複數和相位聯繫在了一起，讓我們發現原來看似毫不相關的兩個事物，竟然有着如此密不可分的關係。

實際上的電路是上述三個阻抗的結合，如同道家所述，道生一，一生二，二生三，三生萬物。電阻、電容、電感的各種組合，就成爲了現代電路分析的基礎，在此基礎上演變出了各種各樣的學科和理論。

2.控制工程論基礎

2.1系統的定義和拉普拉斯變換

我們上述所說的，各種電阻、電容、電感組合成了一個複雜的電路。對於這個電路，我們如何知道其性能？一種思想就是，如果說我們能夠把輸入、輸出之間的關係弄明白，能夠知道對於任意一個輸入，該系統會給出什麼樣的輸出，那麼對於這個電路，我們就能夠完全掌握其性能。換句話說，我們把輸入、系統、輸出之間的關係獲得。我們所學的工程控制論就是探究系統、輸入、輸出三者的關係，其中系統的性能，是一種本質屬性，但是這種屬性可以有很多種表現形式。

一個系統的表現形式有很多，我們可以通過微分方程來建立系統之間各個變量之間的關係，也可以通過微分方程組矩陣（現代控制論）來描述，也可以通過拉普拉斯變換後的傳遞函數來描述，也可以通過傅里葉變換後的頻率響應函數來描述。不同的描述方法其關注的側重點不同，但是其實質都是對同一個系統進行描述，因此各種描述方法是可以互相轉化的。

我們在學習工程控制論的時候，首先學習的是系統的拉普拉斯變換和傳遞函數。其步驟是對於一個系統，先寫出系統的微分方程，然後根據微分方程得到系統的拉普拉斯變換，將輸出除以輸入，就是系統的傳遞函數。因爲這裏我們主要是觀察系統的頻率響應，因此對於系統的拉普拉斯變換，我們不進行過多的講解。這裏我們提出來拉普拉斯變換，是因爲我們在進行傅里葉變換時，需要用到一些零點、極點等概念，而這些概念實際上是來自於系統的傳遞函數。剛纔我們說了，系統的各個變換其本質是相互關聯的，因此這裏我們對於拉普拉斯變換進行一個簡單的介紹。

對於系統的時間響應，我們常常通過以下思路來進行研究，從一階系統出發，到二階系統，然後推至高階系統。

2.2一階系統

2.2.1一階系統的傳遞函數

對於一階系統，其傳遞函數爲

$G(s) = \frac{1}{Ts+1}$

其中$T$爲一階系統的時間常數。

對於一階系統來說的時間常數，其有以下性質：
1.一階系統的時間常數表明系統的慣性，時間常數越大，系統調節所需要的時間越久，系統的慣性越大。時間常數越小，系統的響應越快速。

2.2.2一階系統的單位脈衝響應

對於一階系統來說，對其輸入不同，其表現的輸出也不同，當爲脈衝輸入時，一階系統的輸出爲一階系統的單位脈衝響應：

一階系統的單位脈衝響應有以下性質：
1.在零時刻，單位脈衝響應曲線的初始值爲 $\frac{1}{T}$
2.在零時刻，單位脈衝響應曲線的初始斜率爲 $-\frac{1}{T^2}$
3.當t=T時，上述曲線衰減到初值的36.8%
4.在t=4T時，上述曲線衰減到初值的2%，此時稱4T爲過渡時間或調整時間

2.2.3一階系統的單位階躍響應

當輸入爲單位階躍響應時，一階系統的單位階躍響應爲：

這裏對於一階系統的單位階躍響應，有以下幾個性質：
1.在零時刻，曲線的斜率爲 $\frac{1}{T}$
2.當t=T時，系統的響應達到了穩態值的63.2%
3.在t=4T時，系統的響應達到了穩態值的98%

這裏通過T我們可以繪製出系統的響應曲線，同樣的，已知響應曲線，我們也能得到系統的時間常數T。時間常數T實際上能夠表徵一個一階系統的系統特性，因此我們稱時間常數T爲一階系統的特徵參數。

此外這裏提一下，通過上面一階系統的單位脈衝響應和單位階躍響應，我們可以發現，系統的輸入：單位階躍輸入的導數爲單位脈衝輸入，而其輸出：單位階躍輸出的導數也爲單位脈衝輸出。由此可見，系統輸入之間的關係，會繼承到系統的輸出中。

2.3二階系統

2.3.1二階系統的傳遞函數

對於二階系統，其傳遞函數爲

$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_n \xi s+\omega_n^2}$

其中$\omega_n$爲無阻尼固有頻率；$\xi$爲阻尼比。

對於二階系統的特徵參數來說，有以下幾點性質：

1.隨着阻尼比取值的不同，系統呈現出不同的特性，具體來說

（1）當$\xi=0$時，二階系統的兩個特徵根爲共軛純虛根，此時的系統爲無阻尼系統，也就是系統會等幅振盪。

（2）當$0<\xi<1$時，二階系統的兩個體徵跟爲共軛複數，此時的系統爲欠阻尼系統，此時的系統是幅值不斷減小的振盪。

（3）當$\xi=1$時，特徵方程有兩個相等的負實根，此時的系統稱爲臨界阻尼系統，系統沒有振盪。

（4）當$\xi>1$時，系統的特徵方程有兩個不相等的負實根，此時的系統稱爲過阻尼系統。這個系統也可以視爲兩個時間常數不相等的一階環節的組合。

（5）總結來說，系統的阻尼比 $\xi$ 越大，系統越不容易振盪。

2.系統響應時的振盪頻率並不是二階系統的無阻尼固有頻率，而是二階系統的有阻尼固有頻率即$\omega_d$，且有如下關係：
$\omega_d=\omega_n^2 \sqrt{1-\xi^2}$
此外我們可以看到，系統的阻尼比越小，系統的有阻尼固有頻率越接近無阻尼固有頻率，系統的阻尼比越大，系統的有阻尼固有頻率越小，系統振盪的頻率越慢。

2.3.2二階系統的單位脈衝響應

當二階系統的輸入爲單位脈衝函數時，系統的輸出爲單位脈衝響應，且當阻尼比不同時，二階響應的單位脈衝響應有所不同。

（1）無阻尼系統：$\xi=0$

（2）欠阻尼系統：$0<\xi<1$

（3）臨界阻尼系統：$\xi=1$

（4）過阻尼系統：$\xi>1$

通過二階系統的單位階躍響應，我們能夠得到以下性質：
1.阻尼比$\xi$越小，系統衰減所需要的時間越長，系統衰減的越慢，振盪的頻率越大，振盪的週期約小。
2.對於欠阻尼系統，我們又稱之爲二階振盪系統。
3.對於二階振盪系統，其幅值衰減的快慢取決於 $\xi\omega_n$，因此我們又把 $\xi\omega_n$稱之爲時間衰減常數，記爲$\sigma$

2.3.3二階系統的單位階躍響應

當系統的輸入爲單位階躍輸入時，系統的輸出爲單位階躍響應。同樣的，根據阻尼比的不同，系統具有不同的階躍響應曲線。

（1）無阻尼系統：$\xi=0$

（2）欠阻尼系統：$0<\xi<1$

（3）臨界阻尼系統：$\xi=1$

（4）過阻尼系統：$\xi>1$

通過二階系統的單位階躍響應，我們能夠得到以下性質：
1.我們一般認爲，阻尼比在0.4-0.8之間是比較好的取值，小於0.4，則系統的振盪態嚴重，大於0.8，則系統的過渡時間太長。因此在允許輕微振盪的使用條件下，爲了追求較快的穩定時間，我們往往採用阻尼比在0.4-0.8之間。

2.對於二階振盪系統，我們常常用以下參數來表徵其性能：

（1）上升時間$t_r$
一般將響應時間從穩態值的10%上升到90%所需要的時間成爲上升時間。且有
$t_r=\frac{\pi-\arctan{\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}}}{\omega_d}=\frac{\pi-\arctan{\frac{\sqrt{1-\xi^2}}{\xi}}}{\omega_n \sqrt{1-\xi^2}}$
從這裏我們可以看出，無阻尼固有頻率$\omega_n$增加，上升時間$t_r$減小；阻尼比$\xi$增加，上升時間$t_r$增加。

（2）峯值時間$t_p$
響應曲線到達第一個峯值所需的時間，爲峯值時間$t_p$。且有
$t_p=\frac{\pi}{\omega_d}=\frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1-\xi^2}}$
從這裏我們可以看出，無阻尼固有頻率$\omega_n$增加，峯值時間$t_p$減小；阻尼比$\xi$增加，峯值時間$t_p$增加。

（3）最大超調量$M_p$
最大超調量是峯值相對於穩態的增加百分比。即：
$M_p=\frac{x_o(t_p)-x_o(\infty)}{x_o(\infty)}$
並且二階振盪系統的最大超調量與以下參數有關：
$M_p=e^{\frac{-\xi \pi}{\sqrt{1-\xi^2}}}$
由此可見，最大超調量$M_p$只與系統的阻尼比$\xi$有關，而與無阻尼固有頻率$\omega_n$無關，並且，當系統的阻尼比$\xi$增加時，最大超調量$M_p$減小。

（4）調整時間$t_s$
系統的調整時間是指，當某時刻$t_s$開始，系統與穩態的差值將始終小於2%-5%。這這個時間$t_s$就是調整時間。
當差值爲2%，且系統的阻尼比在0-0.7之間時，系統的調整時間約爲：
$t_s=\frac{4}{\xi \omega_n}$
當差值爲5%，且系統的阻尼比在0-0.7之間時，系統的調整時間約爲：
$t_s=\frac{3}{\xi \omega_n}$

（5）振盪次數$N$
在過度時間$0\leq{t}\leq{t_s}$內，曲線穿越其穩態值的次數的一半定義爲振盪次數。
當差值爲2%，且系統的阻尼比在0-0.7之間時，系統的振盪次數爲：
$N=\frac{2\sqrt{1-\xi_2}}{\pi\xi}$
當差值爲5%，且系統的阻尼比在0-0.7之間時，系統的振盪次數爲：
$N=\frac{1.5\sqrt{1-\xi_2}}{\pi\xi}$
由此可見，振盪次數隨着系統阻尼比$\xi$的增加而減少。

2.4高階系統

對於高階系統來說，我們主要是根據其極點的分佈情況來大致判斷該系統的特性。
系統就是一個發散的系統。當存在重極點時，且極點等於零，則系統也是一個發散的系統，只有當系統的極點小於零，或沒有重根的情況下，系統的極點小於等於零，這個系統纔是一個收斂的系統。
並且對於多極點的情況，當某極點的實部十分大時，可以將該極點看成是主導極點。

3.控制工程論之頻率響應

3.1頻率特性

通過之前的知識，我們已經瞭解到，控制工程論就是探討輸入、輸出、系統三者之間的關係。而當系統的輸入爲諧波信號時，系統會有怎麼樣的輸出，就是該系統的頻率特性。通過對第一節的阻抗的分析，我們知道了，在電學中，當輸入信號爲諧波時，輸出會呈現出幅值的改變和相移。同樣的，引申到系統中，一個系統對輸入的諧波信號，也會有一個幅值和相位的改變，這種改變就是該系統的頻率特性。我們這篇文章也是主要探究系統的頻率特性。

系統的頻率特性，分爲幅頻特性和相頻特性，根據之前所說的歐拉公式，我們可以用以下符號來表示：
$A(\omega)e^{j\varphi(\omega)}$
或：
$A(\omega)∠\varphi(\omega)$
當$\varphi(\omega)>0$時，其相位超前；當$\varphi(\omega)<0$時，其相位滯後。且對於物理系統，其相位一般是滯後的，因此一般來說$\varphi(\omega)<0$。

那麼對於系統的頻域特性，我們如何進行求解呢？
下面介紹兩種求頻率特性的方法，首先第一種方法，是通過已知系統的傳遞函數，來求系統的頻率特性。

3.1.1已知傳遞函數求頻率特性

我們說，一個系統的不同特性，只是其內在屬性的不同方面的表現，因此這些特性實際上是緊密聯繫的。這裏對於拉普拉斯變換和傅里葉變換也是如此。對於同一個系統來說，拉普拉斯變換和傅里葉變化只是其內在屬性的不同表現形式。因此這兩個變換是可以進行相互轉化的。

具體來說，我們只需要將系統中的傳遞函數G(s)中的s換爲$j\omega$，就得到了系統的頻率特性。

但是此時系統的頻率特性是以複數形式表示的，可能不能直觀的看出來系統的幅值和相位，因此此時我們一般還需要對複數形式的頻率特性進行一定的化簡，得到系統的幅頻特性和相頻特性。

下面舉例說明：

已知系統的傳遞函數爲：
$G(s)=\frac{K}{1+Ts}$
則系統的頻率特性爲：
$G(j\omega)=\frac{K}{1+jT\omega}$
採用平方差公式化簡分母，用歐拉公式化簡複數，得：
$G(j\omega)=\frac{K}{1+jT\omega}=\frac{K}{1+T^2\omega^2}(1-jT\omega)=\frac{K}{\sqrt{1+T^2\omega^2}}e^{-j \arctan{(T\omega)}}$

通過這種方法，我們就能實現將已知的系統的傳遞函數，轉化爲系統的頻率特性。並且通過化簡，可以直觀的看到系統的幅頻特性和相頻特性。在示例中，系統的幅頻特性爲：
$A(\omega)=\frac{K}{\sqrt{1+T^2\omega^2}}$
相頻特性爲
$\varphi(\omega)=-\arctan{(T\omega)}$

3.1.2已知系統的構成求頻率特性

當我們已知系統內部的組成時，我們也能夠求出系統的頻率特性。

以簡單的RC並聯電路爲例，通過上述對於阻抗的學習，我們知道了，對於一個RC並聯電路，其電阻的阻抗爲$R$，其電容的阻抗爲$\frac{1}{j\omega C}$。那麼根據串聯阻抗的計算公式，我們可以得到，整個RC電路的阻抗爲：
$Z=\frac{1}{\frac{1}{R}+j\omega C}=\frac{R}{1+j\omega RC}$
可以看出，RC電路的阻抗實際上就是這個系統的頻率特性。這裏我們把它化簡爲幅頻特性、相頻特性，得：
$Z=\frac{R}{\sqrt{1+\omega^2 R^2C^2}}e^{-j\arctan{(\omega RC)}}$

3.1.2系統頻率響應的Bode圖表示

另外，對於系統的頻率響應，除了通過方程式來表達以外，還可以通過圖的形式更直觀的進行表示。一般來說有Nyquist圖和Bode圖兩種表達方法。這裏我們主要使用Bode圖，因此先對系統頻率響應的Bode圖進行一個介紹：

Bode圖有以下幾個特點：
1.Bode圖有兩個圖構成，分別是對數幅頻特性圖和對數相頻特性圖
2.Bode圖的橫座標爲頻率，但是按對數分度。也就是說，相鄰兩個刻度的頻率，其頻率值差十倍。這也就是爲什麼Bode圖由稱爲頻率特性的對數座標圖。
3.對於對數幅頻特性圖，其縱座標的單位是dB，按線性分度，即正常的分度方式。這裏，任何一個數N的分貝值爲
$n(dB)=20lgN$
且當n=0dB時，輸入和輸出的幅值相等。
4.我們常常用漸近線的方法大致的描述系統的幅值特性

3.2典型環節的頻率響應和Bode圖

3.2.1比例環節的Bode圖
比例環節的傳遞函數、頻率響應、幅頻特性、相頻特性爲
$G(s)=K;G(j\omega)=K$
$A(\omega)=K=20lgK(dB);\varphi(\omega)=0°$
則其Bode圖爲：

3.2.2積分環節的Bode圖
比例環節的傳遞函數、頻率響應、幅頻特性、相頻特性爲
$G(s)=\frac{1}{s};G(j\omega)=\frac{1}{j\omega}=-j\frac{1}{\omega}$
$A(\omega)=\frac{1}{\omega}=20lg\frac{1}{\omega}(dB)=-20lg\omega;\varphi(\omega)=-90°$

3.2.3微分環節的Bode圖
微分環節的傳遞函數、頻率響應、幅頻特性、相頻特性爲
$G(s)=s;G(j\omega)=j\omega$
$A(\omega)=\omega=20lg\omega(dB);\varphi(\omega)=90°$

3.2.3慣性環節的Bode圖

慣性環節的傳遞函數、頻率響應爲
$G(s)=\frac{1}{1+Ts};G(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega T}=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^2T^2}}e^{-j\arctan{(\omega T)}}$
令$\omega_T=\frac{1}{T}$得：
$G(j\omega)=\frac{\omega_T}{\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}}e^{-j\arctan{\frac{\omega}{\omega_T}}}$
幅頻特性、相頻特性爲
$A(\omega)=\frac{\omega_T}{\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}}=20lg\frac{\omega_T}{\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}}(dB)=20\lg\omega_T-20\lg\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}(dB)$
$\varphi(\omega)=-\arctan{\frac{\omega}{\omega_T}}$

首先我們對慣性環節的幅頻特性進行分析：

當$\omega<<\omega_T$時，
$A(\omega) \approx 20\lg\omega_T-20\lg\omega_T=0(dB)$
這表明，該系統對低頻信號的放大倍數約爲0dB。

當$\omega=\omega_T$時，
$A(\omega) = 20\lg\omega_T-20\lg \sqrt{2}\omega_T=-20\lg \sqrt{2}=-3(dB)$
這表明，該系統對頻率爲$\omega_T$的信號的放大倍數約爲-3dB。

當$\omega>>\omega_T$時，
$A(\omega) \approx 20\lg\omega_T-20\lg \omega$
這表明，該系統對高頻信號的對數幅頻響應曲線，是一個過點$(\omega_T,0)$，斜率爲-20dB/dec的直線。

對於該環節的相頻特性，
當$\omega=0$時，$\varphi(\omega)=0°$
當$\omega=\omega_T$時，$\varphi(\omega)=-45°$
當$\omega=\infty$時，$\varphi(\omega)=-90°$

總結來說，慣性環節的Bode圖爲：

我們可以看到，上述的$\omega_T$對於慣性環節是一個比較常用的頻率，這個頻率又叫做轉角頻率。

此外，通過上文對RC電路的分析，我們可以看出來，RC電路實際上就是一個慣性環節，具有低通濾波的作用。且RC電路的轉角頻率
$\omega_T=\frac{1}{RC}$

3.2.4導前環節的Bode圖

導前環節的傳遞函數、頻率響應爲
$G(s)=1+Ts;G(j\omega)=1+j\omega T=\sqrt{1+\omega^2T^2}e^{j\arctan{(\omega T)}}$
令$\omega_T=\frac{1}{T}$得：
$G(j\omega)=\frac{\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}}{\omega_T}e^{j\arctan{\frac{\omega}{\omega_T}}}$
幅頻特性、相頻特性爲
$A(\omega)=\frac{\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}}{\omega_T}=20lg\frac{\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}}{\omega_T}(dB)=20\lg\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}-20\lg\omega_T(dB)$
$\varphi(\omega)=\arctan{\frac{\omega}{\omega_T}}$
其Bode圖爲：

3.2.5振盪環節的Bode圖

振盪環節的傳遞函數、頻率響應爲
$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2};G(j\omega)=\frac{\omega_n^2}{-\omega^2+\omega_n^2+j2\xi\omega_n\omega}=\frac{\omega_n^2}{\sqrt{\omega_n^4-\omega^4+4\xi^2\omega_n^2\omega^2}}e^{-j\arctan{\frac{2\xi\omega_n\omega}{\omega_n^2-\omega^2}}}$
令$\omega_T=\frac{1}{T}$得：
$G(j\omega)=\frac{\sqrt{\omega_T^2+\omega^2}}{\omega_T}e^{j\arctan{\frac{\omega}{\omega_T}}}$
幅頻特性、相頻特性爲
$A(\omega)=\frac{\omega_n^2}{\sqrt{\omega_n^4-\omega^4+4\xi^2\omega_n^2\omega^2}}=20lg\frac{\omega_n^2}{\sqrt{\omega_n^4-\omega^4+4\xi^2\omega_n^2\omega^2}}(dB)=20\lg \omega_n^2-20\lg{\sqrt{\omega_n^4-\omega^4+4\xi^2\omega_n^2\omega^2}}(dB)$
$\varphi(\omega)=-\arctan{\frac{2\xi\omega_n\omega}{\omega_n^2-\omega^2}}$

對其幅頻特性進行分析：

當$\omega<<\omega_n$時，
$A(\omega) \approx 20\lg\omega_n^2-20\lg\omega_n^2=0(dB)$
這表明，該系統對低頻信號的放大倍數約爲0dB。

當$\omega=\omega_n$時，
$A(\omega) = 20\lg\omega_n^2-20\lg 2\xi\omega_n^2=-20\lg 2\xi(dB)$
這表明，該系統在頻率爲$\omega_n$處的信號的放大倍數約與系統的阻尼比$\xi$
有關，系統的阻尼比$\xi$越大，則該處的放大倍數越小。

當$\omega>>\omega_n$時，
$A(\omega) \approx 40\lg\omega_T-40\lg \omega$
這表明，該系統對高頻信號的對數幅頻響應曲線，是一個過點$(\omega_n,0)$，斜率爲-40dB/dec的直線。

對於該環節的相頻特性，
當$\omega=0$時，$\varphi(\omega)=0°$
當$\omega=\omega_T$時，$\varphi(\omega)=-90°$
當$\omega=\infty$時，$\varphi(\omega)=-180°$

其Bode圖爲：

對於二階振盪環節，除了轉角頻率$\omega_n$和阻尼比$\xi$之外，還有以下參數比較重要：

諧振頻率$\omega_r$:
振盪環節幅值的最大值處的頻率並不是轉角頻率，而是諧振頻率。一般來說，只有當阻尼比$0\leq\xi\leq0.707$時，才存在諧振頻率$\omega_r$。諧振頻率有以下公式：
$\omega_r=\omega_n \sqrt{1-2\xi^2}$
從公式我們可以看出，當阻尼比增加時，$\omega_r$遠離$\omega_n$；當阻尼比減小時，$\omega_r$接近$\omega_n$

諧振峯值$M_r$
在諧振頻率處，系統的幅值我們稱之爲諧振峯值，諧振峯值有以下公式：
$M_r=\frac{1}{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$
由諧振峯值我們可以看出，其值只與阻尼比有關，阻尼比越小，諧振峯值越大。

3.3系統的Bode圖分析

3.3.1任意系統的Bode圖

任意系統的Bode圖按照以下步驟進行繪製：
1.將系統的傳遞函數轉化爲多個簡單環節的傳遞函數的乘積形式
2.由各傳遞函數求出其對應的頻率特性
3.確定各個典型環節的轉角頻率
4.做出各個環節的對數幅頻特性曲線的漸近線
5.根據誤差修正曲線，得到各個環節的對數幅頻特性曲線的精確曲線
6.將各環節的曲線疊加（不包括系統的總的增益K）
7.將疊加後的曲線垂直移動20lgK，得到系統的對數幅頻特性
8.作各環節的對數相頻特性，然後疊加得到系統總的對數相頻特性
9.有延時環節的，對數幅頻特性不變，相頻特性應再加上延時的曲線

3.3.2系統的頻率響應的特徵量

1.零頻幅值
當頻率接近於零時，閉環系統的輸出的幅值和輸入的幅值之比。若零頻幅值越接近於1，則系統的穩態誤差越小。所以零頻幅值反映了系統的穩態精度。

2.復現頻率與復現帶寬
規定一個誤差值，幅頻特性值和零頻幅值的值的差值等於該誤差值時的頻率叫做復現頻率。從0到該頻率就是復現帶寬。復現頻率和復現誤差指的是，當頻率超過復現頻率時，輸出就不能復現輸入。

3.諧振頻率和相對諧振峯值
幅頻特性最大值時的頻率稱爲諧振頻率。諧振頻率處的幅值與零頻幅值的比稱爲諧振峯值。

4.截止頻率與截止帶寬
幅頻特性的數值低於零頻幅值3dB時的頻率，稱爲截止頻率。0到截止頻率的範圍稱爲系統的截止帶寬或帶寬。

3.3.3系統的穩定性

這裏我們只談論通過Bode判據來判斷系統的穩定性。

首先我們要注意的一點是，對於系統的穩定性判別，一般只發生在閉環系統。因爲對於純開環系統來說，沒有反饋環節，系統的輸出只與單次的輸入有關，因此一般來說我們是不對純開環系統進行穩定性判別的。

對於閉環系統，當我們已知系統的環路時，如果直接通過求其閉環傳遞函數，並判斷分母的極點特性來進行穩定性判斷，也是可行的，但是比較複雜。而我們通過一定的推理，可以發現，對於一個閉環系統的極點特性，可以通過其開環傳遞函數的頻率特性來進行判斷。因此，我們在進行閉環系統的穩定性判斷時，往往取其開環傳遞函數的Bode圖或Nyquist圖來進行判斷。

簡單來說，當開環傳遞函數的Bode圖的幅頻特性曲線與x軸相交時，若此時其相頻特性曲線在-180°的上方，則系統是穩定的。若此時其相頻特性曲線在-180°的下方，則系統是不穩定的。此外，其到-180°的角度差，被稱爲相位裕度，一般我們希望相位裕度在30°-60°之間是比較滿意的。

反過來，當開環傳遞函數的Bode圖的相頻特性曲線與-180°軸相交時，若此時其幅頻特性曲線在x軸的下方，則系統是穩定的。若此時其幅頻特性曲線在x軸的上方，則系統是不穩定的。此外，其到x軸的幅值差，被稱爲幅值裕度，一般我們希望幅值裕度大於6dB是比較滿意的。

這裏對於閉環系統的穩定性判據，我們可以簡單的理解一下，首先閉環系統可以看做是一個開環系統，在一個很小的時間段內，將上一個時刻的輸出疊加到上一個時刻的輸入，作爲系統的新的輸入，得到新的輸出，然後不斷循環，最終疊加無窮次後得到了實際的閉環的輸出。
我們不難想象，如果對於一個輸入，系統的開環輸出爲同相的，且放大倍數大於一，那麼就會造成下一次的輸入增加，那麼經過無數次疊加之後，此時的系統的輸入就是無窮大，因此就會造成系統的不穩定。
如果其是同相但是放大倍數小於1，那麼儘管下一次的輸入也是增加的，但是其經過無數次疊加之後，其值是收斂的，有限的，這就造成輸出值也是有限的。那麼系統就是穩定的。
同樣的，如果當放大倍數等於1時，單次的輸出和輸入不同相，則經過無數次疊加之後，其值也是有限的。
如果是反向的，輸入是不斷縮小的，自然能夠穩定。
而上述的輸入和輸出在疊加時同相，實際上反映到開環函數中，是輸入和輸出反向，因爲閉環傳遞函數中，是輸入減去輸出作爲實際輸入。所以纔將-180°和x軸（放大倍數1倍）作爲判別標準。

4.實際的電子器件分析

這裏在進行實際的電路分析的時候，需要注意的是，並不是只要電路的組成元件一樣，電路的性能就是一樣的，電路的性能還與各個元件的組合方式等有關，例如同樣是RC電路，選擇不同的元件作爲輸出，就呈現出低通和高通兩種不同的屬性。這裏我們只是將電路分析的方法介紹出來。

4.1RC電路的分析

通過上述的學習，我們對RC電路進行分析。
首先對於一階無源低通濾波電路，其電路爲：

通過基爾霍夫定律等可以求得：
系統的頻率特性爲：
$G(j\omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{iZ_C}{i(Z_R+Z_C)}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1+j\omega RC}$
所以這是一個放大倍數爲1，時間常數爲RC的慣性系統。其轉角頻率爲：
$\omega_T=\frac{1}{RC}$

其Bode圖爲：

對於一階無源高通濾波電路，其電路爲：

則其系統的頻率特性爲：
$G(j\omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{iZ_R}{i(Z_R+Z_C)}=\frac{R}{R+\frac{1}{j\omega C}}=\frac{1}{1-j \frac{1}{\omega RC}}$
其幅頻特性、相頻特性爲：
$A(\omega)=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^2 R^2 C^2}}}=-20lg{\sqrt{1+\frac{1}{\omega^2 R^2 C^2}}}(dB)$
$\varphi(\omega)=\arctan{\frac{1}{\omega RC}}$

設$\omega_T=\frac{1}{RC}$，則：
當$\omega=0$時，$A(\omega)=-\infty$，$\varphi(\omega)=90°$
當$\omega=\omega_T$時，$A(\omega)=-3dB$，$\varphi(\omega)=45°$
當$\omega=\infty$時，$A(\omega)=1dB$，$\varphi(\omega)=0°$

因此該系統的Bode圖爲：

可見這是一個高通濾波器。

4.2RL電路的分析

對於RL濾波電路，其分析方法和上述方法一致。舉例來說：

對於如圖所示的RL濾波電路，其系統的頻率特性爲：
$G(j\omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{iZ_R}{i(Z_R+Z_L)}=\frac{R}{R+j\omega L}=\frac{1}{1+j \frac{\omega L}{R}}$
通過上述分析，我們知道，這個系統實際上是一個轉角頻率$\omega_T=\frac{R}{L}$的低通濾波器。

同樣如果輸出電壓在電感處，則爲一個高通濾波器，這裏就不計算了，有興趣的同學可以自己嘗試着計算以下。

4.3LC電路的分析

然後我們對LC振盪電路進行分析。

對於LC電路，其系統的頻率特性爲：
$G(j\omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{iZ_C}{i(Z_C+Z_L)}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1}{j\omega C}+j\omega L}=\frac{1}{1+j^2\omega^2LC}$
或者化簡爲傳遞函數的形式：
$G(s)=\frac{1}{1+LCs^2}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{1}{LC}}$
可見這是一個阻尼比爲零的二階系統，系統的無阻尼固有頻率爲
$\omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
其幅頻特性、相頻特性爲：
$A(\omega)=\frac{1}{1-\omega^2LC}=-20lg{(1-\omega^2LC)}(dB)$
$\varphi(\omega)=0$

當$\omega=0$時，$A(\omega)=1dB$，$\varphi(\omega)=0°$
當$\omega=\omega_n$時，$A(\omega)=\infty dB$，$\varphi(\omega)=0°或-180°$
當$\omega=\infty$時，$A(\omega)=-\infty dB$，$\varphi(\omega)=-180°$

這裏在頻率爲無阻尼固有頻率處，系統的幅值達到了無窮大。
不過世界上沒有完全理想的電容和電阻，因此實際上也就沒有理想的LC電路。因此這裏對理想LC電路的分析，實際上是不存在的。

4.4RLC電路的分析

我們上述所說的電路都是不可能理想存在的，實際上的電路都會存在着其他的寄生參數。舉例來說一個實際的LC電路，實際上由於存在着寄生電阻，是一個RLC電路，那麼對於RLC電路，我們進行一下分析：

如圖所示是上述的LC電路的實際電路模型。對該電路分析，其系統的頻率特性爲：
$G(j\omega)=\frac{U_o}{U_i}=\frac{iZ_C}{i(Z_C+Z_L+Z_R)}=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{\frac{1}{j\omega C}+j\omega L+R}=\frac{1}{j^2\omega^2LC+j\omega RC+1}$
化簡爲傳遞函數的形式：
$G(s)=\frac{1}{LCs^2+RCs+1}=\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}$
可知，這是一個二階振盪系統，系統的無阻尼固有頻率、阻尼比分別爲：
$\omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}}；\xi=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}$

通過上面我們對於二階振盪系統的分析，我們可以清楚的知道該系統的特性。

當$\omega=0$時，$A(\omega)=1dB$，$\varphi(\omega)=0°$
當$\omega=\omega_n$時，$A(\omega)=-20\lg 2\xi dB$，$\varphi(\omega)=-90°$
當$\omega=\infty$時，$A(\omega)=-\infty dB$，$\varphi(\omega)=-180°$

這裏對於阻尼比，其倒數的一半稱爲品質因數Q。
$Q=\frac{1}{2\xi}=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$
品質因數Q越大，則阻尼比越小，整個RLC電路就越接近於LC電路。

我們說，只有當阻尼比小於0.707時，才存在諧振頻率，因此，對於品質因數，只有品質因數大於0.707時，才存在諧振頻率。

4.5爲什麼大電容濾低頻信號，小電容濾高頻信號

在進行電源旁路電容設計時，我們希望，旁路電容對高頻信號的通過能力越強越好，也就是說，我們希望旁路對高頻的阻抗越小越好，這樣直流電源的穩定性才能更好。

根據這個思想，我們知道，對於電容來說，豈不是容值越大，對高頻信號的通過能力越強，越能夠滿足我們的使用要求嗎。但是實際中，爲什麼我們說，大電容濾低頻，小電容濾高頻？

實際上這是因爲，真正的電容不是一個理想電容，而是一個RLC串聯電路，該電路如下圖所示：

對於該電路，我們可以得到其頻率特性爲：
$G(j\omega)=\frac{1}{j\omega C}+j\omega L+R=\frac{1+j\omega RC+j^2\omega^2 LC}{j\omega C}$
由此可見，系統實際上是一個積分環節和一個二階微分環節的結合。

而這裏的二階微分環節的無阻尼固有頻率$\omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}}$，當頻率小於固有頻率時，二階微分環節的幅值約爲1dB，此時可以認爲只有分母，也就是積分環節在起作用，因此此時整個電路呈現出電容的特性。當頻率等於諧振頻率時，二階微分環節對輸入的放大倍數最小，也就是阻抗最大。當頻率大於固有頻率時，二階系統對輸入的放大倍數逐漸增大，同時整個系統逐漸呈現出一階微分系統的性質，此時這個系統就呈現出電感的特性。

從相位中我們也能看出，當頻率較小時，相位差爲-90°，呈電容性。當頻率等於諧振頻率（無阻尼固有頻率）時，相位差爲0°，呈電阻性。當頻率較大時，相位差90°，呈電感性。

如圖所示：

因此，如果我們需要一個電容元件能夠保持其電容的特性，那麼我們就要要求，其使用頻率應該要小於其諧振頻率，而諧振頻率約等於$\omega_n=\frac{1}{\sqrt{LC}}$，可見，一般來說當電容值增大時，由於尺寸增大等因素，電容的寄生電感值也在增大，這就噪聲起諧振頻率的快速減小，導致該電容的有效頻率範圍減小。因此此時大電容就不能對高頻信號有一個較低的阻抗了。

舉例來說，首先來看大電容，假如我們的電容爲50uF，寄生電感爲2nH，寄生電阻忽略不計，那麼此時我們的諧振頻率爲：

$f_n=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=503.3kHz$

通過仿真軟件可以得到，此時，大電容下的電流值爲下圖（電壓不變時，電流與阻抗呈倒數）：

由此可見，在500kHz頻率附近的電流通過能力更強，因此這一部分的電流更容易從直流電中分離出來。但是對於頻率較高的電流，其阻抗在不斷增加。因此該電容只適合旁通低頻率的電流。

而對於小電容，其電容值小，同時由於小電容的封裝一般較大電容的更小，因此其等效串聯電感的值也更小，假設某小電容的參數爲：100nF，700pH，電阻忽略不計，那麼其諧振頻率爲：

$f_n=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=19MHz$

其電流的頻率響應如下所示：

由此可見，由於小電容的容值較小，所以在低頻段的濾波效果不如大電容，但是由於小電容的諧振頻率較高，因此小電容能在較高的頻率範圍內保持對交流信號良好的通過能力。

這就是爲什麼，大電容通低頻，小電容通高頻的原因。

4.6雙重旁路電容電路

那麼爲了能夠讓我們的旁路電容在一個較寬的頻率範圍內都有一個較低的阻抗，那麼此時我們可以採用並聯一大一小兩個電容來實現。我們假設大電容爲$C_1$，小電容爲$C_2$

當並聯兩個電容時，整個電路的阻抗就變成了：

$G(j\omega)=\frac{1}{\frac{j\omega C_1}{1+j\omega R_1C_1+j^2\omega^2 L_1C_1}+\frac{j\omega C_2}{1+j\omega R_2C_2+j^2\omega^2 L_2C_2}}$
$G(s)=\frac{(L_1C_1s^2+R_1C_1s+1)(L_2C_2s^2+R_2C_2s+1)}{s[(L_1C_1C_2+L_2C_1C_2)s^2+(R_1C_1C_2+R_2C_1C_2)s+(C_1+C_2)]}$

由此可見，系統的阻抗是由兩個二階微分環節、一個二階積分環節和一個積分環節四部分組成。其中二階微分環節、二階積分環節的無阻尼固有頻率分別爲：

$\omega_{r1}=\frac{1}{\sqrt{L_1C_1}} ;\omega_{r2}=\frac{1}{\sqrt{L_2C_2}} ;\omega_{r3}=\sqrt{\frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2+L_2C_1C_2}}$

那麼這三個諧振頻率之間的大小關係式如何的呢？這就需要我們對於$C_1、C_2、L_1、L_2$等值有個基本的概念。

首先，$L_1、L_2$差值不會太大，一般在1到2個數量級之間。

因爲，對於電感，一般來說我們希望電感越小越好，電感越小，那麼上述三個頻率都會增加，那麼整個系統的帶寬也會增加。但是電感除了與元器件自身的串聯等效電感（ESL）有關之外，還與元件的焊接方式、元件到電源之間的線長等因素有關。此外還有一個決定電感的因素，就是電容的封裝的選擇。一般來說，對於貼片電容，其封裝尺寸約小，則等效串聯電感的值越小，但是相互之間相差不大。如果採用DIP電容和SMT電容相結合，這兩個的等效電感值差距最多在1到2個數量級。

上圖爲各封裝下貼片電容的等效電感。

那麼根據分析，我們知道了，$L_1$和$L_2$的差值不算太大，且一般來說，大電容的寄生電感值要略大於小電容的寄生電感值（後面會將爲何大電容的電感要稍微大一些），而兩個電容的差值一般我們選取的時候至少是兩個數量級以上，也就是說：
$L_1=kL_2，1<k<20;$
$C_1=nL_2，n>100;$
那麼我們對上式進行一個化簡：
$\omega_{r1}=\frac{1}{\sqrt{L_1C_1}}=\frac{1}{\sqrt{nk}}\frac{1}{\sqrt{L_2C_2}} ;\omega_{r2}=\frac{1}{\sqrt{L_2C_2}} ;$
$\omega_{r3}=\sqrt{\frac{C_1+C_2}{L_1C_1C_2+L_2C_1C_2}}=\sqrt{\frac{n+1}{n(k+1)}}\frac{1}{\sqrt{L_2C_2}}$
很容易就能得到：

$\omega_{r1}<\omega_{r3}<\omega_{r2}$

那麼也就是說，對於兩個二階微分環節，在$\omega_{r1}$和$\omega_{r2}$處達到最小阻抗。此時該電路對於在這兩個頻率範圍附近的信號的通過能力達到最大，從而將該高頻信號的數據直接輸送到地，從而實現對信號的濾波。

且與原來的單個電容的情況比較，單個電容只是對$\omega_{r1}$（低頻）附近的信號有旁通能力，而採用了雙電容後，對$\omega_{r1}$（低頻）和$\omega_{r2}$（高頻）附近都有了旁通能力，所以可以旁通的頻帶加寬。

但是我們還要看到，系統中存在一個二階積分環節，且二階積分環節的諧振頻率在兩電容的諧振頻率中間。對於二階積分環節，在其諧振頻率處，阻抗接近無限大，也就是在$\omega_{r3}$處的達到一個比較大的阻抗，這也就意味着，對於該系統，雖然在$\omega_{r1}$（低頻）和$\omega_{r2}$（高頻）附近有着比較好的旁通能力，但是在兩頻率中間，存在一部分的中高頻信號阻抗比較大，無法將該頻率附近的信號從原始信號中濾除。

那麼此時的頻率—阻抗曲線就如下圖所示，是一個先減小，後增大，然後再減小，然後再增大的曲線：

舉例來說，假如我們現在採用了一個0603的1uF的電容和0402的1nF的電容來進行旁路濾波，那麼我們可以求得三個諧振頻率：

$f_{r1}=6MHz ； f_{r2}=215MHz；f_{r3}=142MHz$

可以看出，該電路對於從低頻（6MHz以下）到高頻（210MHz左右）信號均有比較好的濾除效果。但其中140MHz附近的信號可能濾除效果並不充分。通過上述計算三個諧振頻率，我們就能基本上得到我們所設計的雙電容旁路電路的系統性能。

通過仿真，我們可以得到在不同頻率下通過的電流的大小（電流與阻抗成反比）。該圖也驗證了我們上述的計算。

如果覺得運算麻煩，也可以通過查閱下表來進行設計，因爲實際上我們的寄生電感的數值是不易估計的，所以太爲精確的計算有時候是沒有太多意義的，我們只需要有一個模糊的、範圍的認知有時候就足夠我們進行設計了。下表爲常見的電容和其諧振頻率的對應關係：

已知大電容諧振頻率和小電容諧振頻率後，可以估計雙電容諧振頻率，雙電容諧振頻率在大電容諧振頻率和小電容諧振頻率之間，且更接近小電容諧振頻率。

然後我們說，爲什麼在選擇的時候，需要大電容的電感值大於小電容的電感值。也就是說，大電容選擇較大的封裝，而小電容選擇較小的封裝？如果電容的容值和封裝選擇不合理，就可能造成下圖的情況：

左邊是選擇了相同的封裝，右邊是選擇了不同的封裝。

通過仿真我們也可以看出：

上圖分別是，
正常選型（大電容遠大於小電容，大電容電感大於小電容電感）、
錯誤選型1（大電容遠大於小電容，大電容電感小於小電容電感）、
錯誤選型2（大電容略大於小電容，大電容電感大於小電容電感）、
錯誤選型3（大電容略大於小電容，大電容電感小於小電容電感）

可以看出，只有在正常選型下，其濾波的頻率範圍較單電容電路有明顯的增加。在其他錯誤選型下，雙電容電路的電流曲線和單電容的電流曲線差別不大。

所以這就告訴我們，在進行雙電容旁路電路設計時，一方面我們要求兩個電容的容值儘量的相差儘量的大，另一方面，就是兩個電容的電感，儘量保證大電容的電感大於小電容的電感，也就是說，大電容採用較大的封裝，小電容採用較小的封裝，且注意繪製PCB板時的環路電感。

然後我們來探討一下，兩個電容之間的互諧振頻率$\omega_{r3}$如何消除影響的問題。更進一步來說，是電容的ESR的選擇問題

如果對於兩個電容之間的互諧振頻率$\omega_{r3}$，我們如果對於電路濾波要求比較嚴格，不希望有中頻的噪聲還存在於原始信號中，該如何消除或者避免這個二階積分環節帶來的諧振頻率$\omega_{r3}$呢？

這裏就涉及到了阻抗，我們之前對二階系統的響應函數進行過分析，我們知道，對於諧振而言，並不是每一個二階系統都會存在諧振峯值。只有系統的阻尼在0到0.707之間，才存在諧振峯值。且阻尼越大，諧振峯值越小。通過阻抗的公式，我們可以得到：

$\xi_{r1}=\frac{R_1}{2}\sqrt{\frac{C_1}{L_1}};\xi_{r2}=\frac{R_2}{2}\sqrt{\frac{C_2}{L_2}}$
$\xi_{r3}=\frac{R_1+R_2}{2}\sqrt{\frac{C_1C_2}{(L_1+L_2)(C_1+C_2)}}$

由此可以看出，當我們增大電容的等效串聯電阻（ESR），可以提高系統的阻尼比，從而降低其諧振峯值。例如，我們在大電容旁邊增加一個消諧電阻，那麼在大電容處的諧振峯值和在互諧振頻率處的諧振峯值將會減小。

同樣通過仿真，我們可以得到以下圖像。

上圖分別是無消諧電阻，0.1Ω消諧電阻，1Ω消諧電阻下的電流大小。可以看到，電阻越大，其諧振峯值越小。從而實現消諧的目的。在互諧振頻率下就不會存在阻抗過大的現象。

但是並不是消諧電阻越大越好。消諧電阻的存在，實際上是整體的增加了系統的阻抗。

有圖可以看出，在有了消諧電阻之後，雖然互諧振頻率下，阻抗峯值被消除了，但是響應的，該系統整體的阻抗增加了。也就是，其通過的電流減小了。這就造成了該系統對於紋波的濾除能力減弱。因此，我們在進行消諧電阻的選擇的時候，應該選擇的即能消除諧振現象，又不過多的增加系統的阻抗，類似上圖紅色曲線的效果。

那麼我們在實際的選擇時，該如何選擇消諧電阻的阻值呢？這裏有個簡單的經驗公式：
$R_1=\sqrt{\frac{L_1}{C_2}}$
這裏的$R_1$阻值是我們添加的消諧電阻加上電容自身的ESR的阻值之和。可能存在電容本身的ESR已經達到了我們需要的阻值，此時我們就不需要自行添加消諧電阻。這種情況是十分常見的，所以大部分雙重旁路電容的設計並沒有添加消諧電阻。

此外，對於電容ESR的選擇，其與電路的紋波要求也有關。通過上面的圖我們可以看到，當電容的ESR越大時，其在工作頻率附近的阻抗就越大，換句話說，如果我們的系統是一個對電源進行旁濾濾波的電路，那麼，阻抗越大，就越難以濾除電源中的紋波，也就是說，電源中的紋波值就越大。因此，一般情況下，我們希望我們的ESR儘量的小，從而能夠對工作頻率下的波形有更好的通過能力，從而降低主路的紋波大小。

對於ESR的取值，我們可以通過紋波大小和主電路電流大小來估算：

ESR值與紋波電壓的關係可以用公式V=R（ESR）×I表示。這個公式中的V就表示紋波電壓，而R表示電容的ESR，I表示電流。可以看到，當電流增大的時候，即使在ESR保持不變的情況下，紋波電壓也會成倍提高。（來源來自網上）

一般來說，對於鋁電解電容，容值越大，ESR越小，耐壓越大，ESR越小。而且對於鋁電解電容來說，由於容值太大，因此此時的容值對於諧振頻率的影響並不大，因此此時更應該關注其ESR的大小，往往我們是根據紋波來計算ESR，再來選擇合適的鋁電解電容的。

對於貼片電容，我們則關注其頻率特性，首先根據頻率特性選擇容值，然後ESR在能夠消諧的情況下，儘可能的小，同時滿足紋波條件即可。