文章目錄
一. 數組
1. 數組結構的特點
（1） 數組元素數目不變，一旦定義了一個數組結構，數組元素個數就不會發生改變
（2） 數組元素具有相同的數據類型
（3） 數組元素的下標關係具有上下界的約束且下標有序
2. 數組的兩個基本運算
（1） 給定一組下標，存取相應的數據元素
（2） 給定一組下標，修改相應的數組元素中某個數據項的值
3. 數組的存儲
根據數組結構的特點知道數組一般不做插入和刪除操作，數組的存儲適合採用順序存儲結構，二維數組存儲結構可分爲按行爲主序和按列爲主序兩種存儲方法。
4. 數組存儲地址的計算
| 數組類型 | 存儲地址的計算（a是數組首地址，len是每個數組元素所佔長度） |
|---|---|
| 一維數組 | a[i]的存儲地址：a+i*len |
| 二維數組：a[m][n] | 按行存儲：a+(i*n+j) *len；按列存儲：a+(j *m+i) *len |
數組存儲地址的計算示例：
1）已知一維數組a中每個元素佔用2個字節，求a[10]的存儲地址？
答：a[10]的存儲地址爲：a+10*2=a+20
2）已知4行5列的二維數組a中的每個元素佔用2個字節，求元素a[3][2]按行爲主序存儲的存儲地址和按列爲主序存儲的存儲地址？
答：
按行存儲：a+(3*5+2)2 = a+34
按列存儲：a+(24+3)*2 = a+22
二. 矩陣
1. 稀疏矩陣的定義
在一個矩陣中，非零的元素的個數遠遠多於零元素的個數，並且非零元素的分佈沒有規律，稱爲稀疏矩陣。
2. 稀疏矩陣的存儲
存儲稀疏矩陣中非零元素時，必須存儲其位置。三元組（i，j，aij）可唯一確定矩陣中的一個元素。稀疏矩陣的三元組表的順序存儲稱爲三元組順序表，常用的三元組表的鏈式存儲結構是十字鏈表。
3.上三角矩陣與下三角矩陣
主對角線以下都是零的方陣稱爲上三角矩陣，主對角線以上都是零的方陣稱爲下三角矩陣。稀疏矩陣大量元素是零，存儲一部分內容就已經把有效數據存儲了，這可以節省很多空間。存儲稀疏矩陣一般存儲上三角矩陣或下三角矩陣，如在上三角矩陣或者下三角矩陣中，遇到上半部分和下半部分數據可能重複的情況下，只需要存儲上半部分的數據或者下半部分的數據即可。
4. 求三角矩陣中某一個元素對應一維數組的下標
| 稀疏矩陣 | 計算方法 |
|---|---|
| 上三角矩陣 | 下標分別爲i和j的元素對應的一維數組的下標計算公式是：（2 n - i + 1) * i / 2 + j |
| 下三角矩陣 | 下標分別爲i和j的元素對應的一維數組的下標計算公式是：(i + 1) * i / 2 + j |
示例：
設有如下所示的下三角矩陣 A [ 0…8 ,0…8 ]，將該三角矩陣的非0元素（即：行下標不小於列下標的所有元素）以行優先壓縮存儲到 M [ 1…m ]中，則元素 A [ i , j ] (0<=i<8,j<=i)存儲在數組M中的( )中？
A(0,0)
A(1,0) A(1,1)
A(2,0) A(2,1) A(2,2)
A(2,0) A(2,1) A(2,2) A(2,3)
. . .
. . .
A(8,0) A(8,1) A(8,2) A(8,3) A(8,4) . . . . . A(8,8)
答案： M [ (i + 1) * i / 2 + j+1 ]
分析：
將A(0,0)即：i=0，j=0代入 (i + 1) * i / 2 + j 中，查看結果是不是M [ 1 ]中的1。很明顯，計算結果是0。這裏將0加1後的結果纔是1，所以我們考慮M中的結果是 (i + 1) * i / 2 + j+1。將A [2,1]中i=2，j=1代入推算的公式： (i + 1) * i / 2 + j+1，發現A[1,2]對應M [5 ]，滿足條件。通過代入矩陣中的其它元素後，發現我們推導的公式： (i + 1) * i / 2 + j+1是滿足題意的。所以，答案是：M [ (i + 1) * i / 2 + j+1 ]
三. 數據結構的定義
1. 數據結構的概念
計算機存儲以及組織數據的方式。
2. 爲什麼去研究數據結構
選擇不同的數據結構，可能帶來的運行效率差異比較大。
3. 數據邏輯結構
- 線性結構
線性結構類似一個個元素連接成一條線 - 非線性結構
非線性結構可以分爲：樹形結構和圖。樹形結構和圖的區別是：樹形結構裏面沒有環路，而圖中有環路。廣義的圖既包括樹，也包括線性結構，而廣義的樹還包括線性結構。
四. 順序表與鏈表
1. 順序表概述
順序表開闢了連續的空間，順次將數據存儲。
2. 鏈表概述
- 單鏈表
單鏈表中指針是單向的，頭節點指向第一個元素，第一個元素指向第二個元素，第二個元素指向第三個元素……以此類推。 - 循環鏈表
把尾元素的指針指向了頭節點，指向頭節點的好處是：如果當前指針是在尾元素，要定位在其它任何一個元素的時候，可以next，定位到它。而不用重新定位到頭節點纔開始。 - 雙向鏈表
單鏈表只能指向一個方向，而雙鏈表兩個方向都可以指向。
3. 鏈表的操作
- 單鏈表刪除節點
![在這裏插入圖片描述]()
q->nest = p->next
- 單鏈表插入節點
![在這裏插入圖片描述]()
s->next = p->nest
p->next = s
- 雙鏈表刪除節點
![在這裏插入圖片描述]()
- 雙鏈表插入節點
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單鏈表是分有頭節點和沒有頭節點的，頭節點不存任何信息， 頭節點下一個元素才存儲信息。有頭節點的好處是：引入的頭節點可以讓所有節點的操作方式變成一致的。如果頭節點存有別的元素即存儲具體內容，往往需要採取不同的處理方式。
五. 算法的基本特性
- 有窮性
執行有窮步之後結束。 - 確定性
算法中每一條指令都必須有確切的含義，不能含糊不清。 - 輸入
0個或0個以上的輸入。 - 輸出
至少有一個輸出。 - 有效性
算法中的每一個步驟都能得到有效地執行並且能得到確定的結果。如：a = 0，c = b/9這一步就是無效的
六. 查找
1. 順序查找
- 順序查找的思想
將待查找的關鍵字爲key的元素從頭到尾與表中元素進行比較，如果中間存在關鍵字爲key的元素，則返回查找成功；否則返回查找失敗。
| 1 |2 |3| 4 |5 |6| 7 |8 |
|–|--|–|--|–|--|–|--| - 順序查找的平均查找長度
ASL = （n+1）/ 2
時間複雜度：O(n)
2. 折半查找（二分查找）
- 折半查找的思想
不是所有的序列都可以用折半查找法，折半查找的前提是：查找的序列中的數是有序（從大到小或者從小到大）排列的。 - 查找過程
【例題】請給出在含有12個元素的有序表{1，4，10，16，17，18，23，29，33，40，50，51}中查找關鍵字17的過程：
將12個元素按照順序排序(正序和逆序都可以)：
| 1 | 4 | 10 | 16 | 17 | 18 | 23 | 29 | 33 | 40 | 50 | 51 |
|---|
第一輪查找：將第一個元素的位置下標與最後一個元素的位置下標相加，然後除以2向下取整，得到17第一次要比較的數值。(1+12)/2 =6.5，向下取整就是6。所以，17要與下標爲6的數值做比較，下標6對應的數值是18。因爲17<18，所以17必然在下標爲6的左邊部分，把查找的範圍縮小一半。
第二輪查找：(1+5)/2 = 3，所以17要與3對應的數值進行比較。因爲17>10，所以17應該在4的左邊部分。
第三輪查找：範圍縮小到4~5之間，（4+5）/2 = 4.5，則17要與下標4所在位置的值做比較。因爲17>16，所以17在座標爲4的右邊部分
第四輪查找：（5+5）/2 = 5，17與下標爲5的值做比較，17=17，所以只有下標爲5符合題意。
- 折半查找的時間複雜度
折半查找在查找成功時，關鍵字的比較次數最多爲：log2n +1次
折半查找的時間複雜度：O(log2n)
七. 散列表
1. 散列表查找的基本思想
已知關鍵字集合U，最大關鍵字爲m。設計一個hash函數，它一關鍵字爲變量，關鍵字的存儲地址爲因變量，將關鍵字映射到一個有限的、地址連續的區間中。這個區間就是散列表，散列查找中使用的轉換函數稱爲散列函數。
2. 散列表查找實例
【例】記錄關鍵碼爲（3，8，12，17，9），取m=10（存儲空間爲10），p = 5，散列函數 h = key%p。
- 3 % 5 = 3，將關鍵碼3放置到位置爲3的存儲空間。
![在這裏插入圖片描述]()
- 8 % 5 = 3，再放在存儲空間3的位置就會發生衝突，使用開放定址法的思想，可將關鍵字8存放在存儲空間3的下一個位置存儲空間4。
![在這裏插入圖片描述]()
開放定址法：當構造散列表發生衝突時，使用某種探測手段，產生一個探測的散列地址序列，並且逐個查找此地址中是否存儲數據元素。如果沒有存儲，則稱該散列地址開放，並將關鍵字存入，否則繼續查找下一個地址。只要散列表足夠大，總能找到空的散列地址將數據元素存入。
-
12 % 5 = 2，將關鍵碼12放置在存儲空間2的位置中。
![在這裏插入圖片描述]()
-
17 % 5 = 2，存儲空間2的位置已經存有元素，根據開放定址法的思想，需要向下查找，需要找到空的散列地址將元素存入。查找到存儲空間5的位置是空的，所以將17存入存儲空間5的位置。
-
9 % 5 = 4，存儲空間4已經存在元素，向下查找，存儲空間5也存在元素。繼續向下查找，存儲空間6是空的，所以將關鍵碼9存入存儲空間6的位置上。
八. 排序
1. 排序的概念
- 穩定的排序：原來的兩數中第一個數大於第二個數，排序之後第一個數還是大於第二個數。兩數的順序不會因爲排序之後發生順序的改變。
- 不穩定的排序：兩數的順序會因爲排序之後發生順序的改變。
2. 內排序與外排序
內排序：在內存裏面進行排序
外排序：涉及外部存儲空間
3. 排序方法的分類
- 插入類排序
插入排序：直接插入排序、希爾排序
直接插入排序思路簡單、操作容易，但是效率沒有希爾排序高。 - 交換類排序
交換類排序：冒泡排序、快速排序
快速排序效率比較高，過程複雜一些。 - 選擇類排序
選擇類排序：簡單選擇排序、堆排序
堆排序效率非常高，但處理過程複雜。 - 歸併排序
- 基數排序
4. 直接插入排序
- 直接插入排序的思路
當插入第i個記錄時，R1,R2,……,Ri-1均已經排好序。因此，將第i個記錄Ri依次與Ri-1,……,R2,R1進行比較，找到合適的位置插入。
【例】使用插入排序對57 68 59 52進行排序
（1）第一步：比較57、68兩數，因爲57<68，所以位置不發生改變
（2）第二步：將59與68做比較，59<69，所以59應該在68的前面（左邊），但不確定將59插入在57的前邊，還是插入到57的後面。所以，59需要與57再做比較。
（3）第三步：因爲59>57，所以59在57的後面（右邊），將59插入在57的後面的位置（也即68的前的位置）上。
（4）第四步：將52與68做比較，52<68，所以52必在68的前面。
（5）第五步：68的前面位置有59和57，所以需要將52與59比較。因爲52<59，所以52在59的前面位置。
（6）第六步：因爲59的前面位置還有57，所以需要將52與57比較。因爲52<57，所以52要插入到57的前面位置。至此，完成排序。
直接插入排序的優點：簡單明瞭
直接插入排序的缺點：速度很慢