数据结构与算法基础

一. 数组

1. 数组结构的特点

（1） 数组元素数目不变，一旦定义了一个数组结构，数组元素个数就不会发生改变
（2） 数组元素具有相同的数据类型
（3） 数组元素的下标关系具有上下界的约束且下标有序

2. 数组的两个基本运算

（1） 给定一组下标，存取相应的数据元素
（2） 给定一组下标，修改相应的数组元素中某个数据项的值

3. 数组的存储

根据数组结构的特点知道数组一般不做插入和删除操作，数组的存储适合采用顺序存储结构，二维数组存储结构可分为按行为主序和按列为主序两种存储方法。

4. 数组存储地址的计算

数组类型	存储地址的计算（a是数组首地址，len是每个数组元素所占长度）
一维数组	a[i]的存储地址：a+i*len
二维数组：a[m][n]	按行存储：a+(i*n+j) *len；按列存储：a+(j *m+i) *len

数组存储地址的计算示例：

1）已知一维数组a中每个元素占用2个字节，求a[10]的存储地址？
答：a[10]的存储地址为：a+10*2=a+20
2）已知4行5列的二维数组a中的每个元素占用2个字节，求元素a[3][2]按行为主序存储的存储地址和按列为主序存储的存储地址？

答：
按行存储：a+(3*5+2)2 = a+34
按列存储：a+(24+3)*2 = a+22

二. 矩阵

1. 稀疏矩阵的定义

在一个矩阵中，非零的元素的个数远远多于零元素的个数，并且非零元素的分布没有规律，称为稀疏矩阵。

2. 稀疏矩阵的存储

存储稀疏矩阵中非零元素时，必须存储其位置。三元组（i，j，aij）可唯一确定矩阵中的一个元素。稀疏矩阵的三元组表的顺序存储称为三元组顺序表，常用的三元组表的链式存储结构是十字链表。

3.上三角矩阵与下三角矩阵

主对角线以下都是零的方阵称为上三角矩阵，主对角线以上都是零的方阵称为下三角矩阵。稀疏矩阵大量元素是零，存储一部分内容就已经把有效数据存储了，这可以节省很多空间。存储稀疏矩阵一般存储上三角矩阵或下三角矩阵，如在上三角矩阵或者下三角矩阵中，遇到上半部分和下半部分数据可能重复的情况下，只需要存储上半部分的数据或者下半部分的数据即可。

4. 求三角矩阵中某一个元素对应一维数组的下标

稀疏矩阵	计算方法
上三角矩阵	下标分别为i和j的元素对应的一维数组的下标计算公式是：（2 n - i + 1) * i / 2 + j
下三角矩阵	下标分别为i和j的元素对应的一维数组的下标计算公式是：(i + 1) * i / 2 + j

示例：
设有如下所示的下三角矩阵 A [ 0…8 ,0…8 ]，将该三角矩阵的非0元素（即：行下标不小于列下标的所有元素）以行优先压缩存储到 M [ 1…m ]中，则元素 A [ i , j ] (0<=i<8,j<=i)存储在数组M中的( )中？

A(0,0)
A(1,0) A(1,1)
A(2,0) A(2,1) A(2,2)
A(2,0) A(2,1) A(2,2) A(2,3)
. . .
. . .
A(8,0) A(8,1) A(8,2) A(8,3) A(8,4) . . . . . A(8,8)

答案： M [ (i + 1) * i / 2 + j+1 ]

分析：
将A(0,0)即：i=0，j=0代入 (i + 1) * i / 2 + j 中，查看结果是不是M [ 1 ]中的1。很明显，计算结果是0。这里将0加1后的结果才是1，所以我们考虑M中的结果是 (i + 1) * i / 2 + j+1。将A [2,1]中i=2，j=1代入推算的公式： (i + 1) * i / 2 + j+1，发现A[1,2]对应M [5 ]，满足条件。通过代入矩阵中的其它元素后，发现我们推导的公式： (i + 1) * i / 2 + j+1是满足题意的。所以，答案是：M [ (i + 1) * i / 2 + j+1 ]

三. 数据结构的定义

1. 数据结构的概念

计算机存储以及组织数据的方式。

2. 为什么去研究数据结构

选择不同的数据结构，可能带来的运行效率差异比较大。

3. 数据逻辑结构

• 线性结构
  线性结构类似一个个元素连接成一条线
• 非线性结构
  非线性结构可以分为：树形结构和图。树形结构和图的区别是：树形结构里面没有环路，而图中有环路。广义的图既包括树，也包括线性结构，而广义的树还包括线性结构。

四. 顺序表与链表

1. 顺序表概述

顺序表开辟了连续的空间，顺次将数据存储。

2. 链表概述

• 单链表
  单链表中指针是单向的，头节点指向第一个元素，第一个元素指向第二个元素，第二个元素指向第三个元素……以此类推。
• 循环链表
  把尾元素的指针指向了头节点，指向头节点的好处是：如果当前指针是在尾元素，要定位在其它任何一个元素的时候，可以next，定位到它。而不用重新定位到头节点才开始。
• 双向链表
  单链表只能指向一个方向，而双链表两个方向都可以指向。

3. 链表的操作

• 单链表删除节点
  

q->nest = p->next

• 单链表插入节点
  

s->next = p->nest
p->next = s

• 双链表删除节点
  
• 双链表插入节点
  

单链表是分有头节点和没有头节点的，头节点不存任何信息， 头节点下一个元素才存储信息。有头节点的好处是：引入的头节点可以让所有节点的操作方式变成一致的。如果头节点存有别的元素即存储具体内容，往往需要采取不同的处理方式。

五. 算法的基本特性

• 有穷性
  执行有穷步之后结束。
• 确定性
  算法中每一条指令都必须有确切的含义，不能含糊不清。
• 输入
  0个或0个以上的输入。
• 输出
  至少有一个输出。
• 有效性
  算法中的每一个步骤都能得到有效地执行并且能得到确定的结果。如：a = 0，c = b/9这一步就是无效的

六. 查找

1. 顺序查找

• 顺序查找的思想
  将待查找的关键字为key的元素从头到尾与表中元素进行比较，如果中间存在关键字为key的元素，则返回查找成功；否则返回查找失败。
  | 1 |2 |3| 4 |5 |6| 7 |8 |
  |–|--|–|--|–|--|–|--|
• 顺序查找的平均查找长度
  ASL = （n+1）/ 2
  时间复杂度：O(n)

2. 折半查找（二分查找）

• 折半查找的思想
  不是所有的序列都可以用折半查找法，折半查找的前提是：查找的序列中的数是有序（从大到小或者从小到大）排列的。
• 查找过程
  【例题】请给出在含有12个元素的有序表{1，4，10，16，17，18，23，29，33，40，50，51}中查找关键字17的过程：

将12个元素按照顺序排序(正序和逆序都可以)：

1	4	10	16	17	18	23	29	33	40	50	51

第一轮查找：将第一个元素的位置下标与最后一个元素的位置下标相加，然后除以2向下取整，得到17第一次要比较的数值。(1+12)/2 =6.5，向下取整就是6。所以，17要与下标为6的数值做比较，下标6对应的数值是18。因为17<18，所以17必然在下标为6的左边部分，把查找的范围缩小一半。

第二轮查找：(1+5)/2 = 3，所以17要与3对应的数值进行比较。因为17>10，所以17应该在4的左边部分。

第三轮查找：范围缩小到4~5之间，（4+5）/2 = 4.5，则17要与下标4所在位置的值做比较。因为17>16，所以17在座标为4的右边部分

第四轮查找：（5+5）/2 = 5，17与下标为5的值做比较，17=17，所以只有下标为5符合题意。

• 折半查找的时间复杂度
  折半查找在查找成功时，关键字的比较次数最多为：log2n +1次
  折半查找的时间复杂度：O(log2n)

七. 散列表

1. 散列表查找的基本思想

已知关键字集合U，最大关键字为m。设计一个hash函数，它一关键字为变量，关键字的存储地址为因变量，将关键字映射到一个有限的、地址连续的区间中。这个区间就是散列表，散列查找中使用的转换函数称为散列函数。

2. 散列表查找实例

【例】记录关键码为（3，8，12，17，9），取m=10（存储空间为10），p = 5，散列函数 h = key%p。

• 3 % 5 = 3，将关键码3放置到位置为3的存储空间。
  
• 8 % 5 = 3，再放在存储空间3的位置就会发生冲突，使用开放定址法的思想，可将关键字8存放在存储空间3的下一个位置存储空间4。
  

开放定址法：当构造散列表发生冲突时，使用某种探测手段，产生一个探测的散列地址序列，并且逐个查找此地址中是否存储数据元素。如果没有存储，则称该散列地址开放，并将关键字存入，否则继续查找下一个地址。只要散列表足够大，总能找到空的散列地址将数据元素存入。

• 12 % 5 = 2，将关键码12放置在存储空间2的位置中。
  

• 17 % 5 = 2，存储空间2的位置已经存有元素，根据开放定址法的思想，需要向下查找，需要找到空的散列地址将元素存入。查找到存储空间5的位置是空的，所以将17存入存储空间5的位置。

• 9 % 5 = 4，存储空间4已经存在元素，向下查找，存储空间5也存在元素。继续向下查找，存储空间6是空的，所以将关键码9存入存储空间6的位置上。

八. 排序

1. 排序的概念

• 稳定的排序：原来的两数中第一个数大于第二个数，排序之后第一个数还是大于第二个数。两数的顺序不会因为排序之后发生顺序的改变。
• 不稳定的排序：两数的顺序会因为排序之后发生顺序的改变。

2. 内排序与外排序

内排序：在内存里面进行排序
外排序：涉及外部存储空间

3. 排序方法的分类

• 插入类排序
  插入排序：直接插入排序、希尔排序
  直接插入排序思路简单、操作容易，但是效率没有希尔排序高。
• 交换类排序
  交换类排序：冒泡排序、快速排序
  快速排序效率比较高，过程复杂一些。
• 选择类排序
  选择类排序：简单选择排序、堆排序
  堆排序效率非常高，但处理过程复杂。
• 归并排序
• 基数排序

4. 直接插入排序

• 直接插入排序的思路
  当插入第i个记录时，R1,R2,……,Ri-1均已经排好序。因此，将第i个记录Ri依次与Ri-1,……,R2,R1进行比较，找到合适的位置插入。

【例】使用插入排序对57 68 59 52进行排序

（1）第一步：比较57、68两数，因为57<68，所以位置不发生改变

（2）第二步：将59与68做比较，59<69，所以59应该在68的前面（左边），但不确定将59插入在57的前边，还是插入到57的后面。所以，59需要与57再做比较。

（3）第三步：因为59>57，所以59在57的后面（右边），将59插入在57的后面的位置（也即68的前的位置）上。


（4）第四步：将52与68做比较，52<68，所以52必在68的前面。

（5）第五步：68的前面位置有59和57，所以需要将52与59比较。因为52<59，所以52在59的前面位置。

（6）第六步：因为59的前面位置还有57，所以需要将52与57比较。因为52<57，所以52要插入到57的前面位置。至此，完成排序。


直接插入排序的优点：简单明了
直接插入排序的缺点：速度很慢