電子技術背後的數學本質【3】（放大器電路噪聲的計算和去除）

這一篇我們主要對電路的噪聲進行一個分析，尤其是在放大器電設計時，遇到的噪聲問題。首先我們對噪聲進行一個數學上的分析，得到噪聲的表達式。然後對電路中常見的噪聲進行一個分類，並根據之前的數學分析，給出計算噪聲的方法。最後對於上述不同種類的噪聲，提出一個抑制和去除的方法。

1.如何評價噪聲——電能力和有效值

1.1什麼是有效值和電能力

在對噪聲進行分析之前，我們首先需要對“有效值”這一概念進行一個回顧。

我們在進行交流電的分析和表達的時候，往往遇到一個問題，那就是對於某些複雜的交流信號來說，我們希望對該交流電有一個描述，該描述能夠某種程度上表達該交流電的能力。那麼如何描述一個複雜的交流信號呢？

一種方法是，我們對該信號進行傅里葉變換，得到該信號在各個頻率下的幅值大小，從而從中可以看出該交流信號的性能和特性。

這確實是一種十分科學並且詳細的描述方式。但是如果所有的交流信號都需要這樣描述，那就顯得十分複雜，且不利於我們進行運算。所以我們需要尋求一種其他的描述方法。

如果我們對該交流信號的成分並不過多的關注，而是更看重該交流電的電能力，那可不可以用一個直流電，使該直流電和交流電具有相同的電能力，然後用直流電的參數來表示交流電的參數？

這就是有效值的來源。對於一個波動的電壓u(t)，其大小隨着時間的變化而變化。所以我們難以直接描述出該電壓的大小。可是假設我們把該電壓加到某阻性負載R兩端時，電阻R會消耗功率發熱，產生的熱量爲Q；如果我們用一個直流的電壓U，加到相同的負載兩端，能夠產生相同的熱量，那麼我們可以用直流電壓U來表示原波動電壓u(t)的某種能力（例如讓電阻發熱的能力）。這裏的U就是u(t)的電壓有效值。

有以下公式推導：
波動電壓的瞬時功率：
$P(t)=\frac{u^2(t)}{R}$
在一段時間內所產生的熱量：
$Q=\int ^T_0 \frac{u^2(t)}{R} {\rm d}x$
直流電壓在相同的一段時間內所產生的熱量：
$Q=T\frac{U^2}{R}$
若使兩個熱量相等，那麼我們可以得到：
$U_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {u^2(t)} {\rm d}x}$$E_p=U^2=\frac{1}{T}\int ^T_0 {u^2(t)} {\rm d}x$
這裏，U就是波動電壓的有效值，$E_p$就是波動電壓的電能力。

可能有人就會有一個疑問，有效值的概念我們弄清楚了，也知道怎麼來的了，爲什麼還要單獨的給$U^2$起一個名叫“電能力”的名字？是不是多此一舉呢？

當然，電能力的存在是有它深刻的科學依據的。下面來看：

1.2爲什麼要區分有效值和電能力

爲什麼要區分有效值和電能力呢？簡單的概況是，對於獨立信號來說，有效值不能疊加，電能力可以疊加。我們舉一個簡單的例子。

如果有兩個相互獨立的波動信號$u_1(t)$和$u_2(t)$，這兩個信號疊加起來形成一個新的波動信號$u(t)$，那麼這三者之間的電能力、有效值之間是個什麼關係呢？

有以下推導：
在兩個波動信號爲正交信號的前提下
波動信號1的有效值：
$U_{rms1}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {u_1^2(t)} {\rm d}x}$
波動信號1的電能力：
$E_{p1}=\frac{1}{T}\int ^T_0 {u_1^2(t)} {\rm d}x$
波動信號2的有效值：
$U_{rms2}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {u_2^2(t)} {\rm d}x}$
波動信號2的電能力：
$E_{p2}=\frac{1}{T}\int ^T_0 {u_2^2(t)} {\rm d}x$
合成的波動信號的有效值：
$U_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {u^2(t)} {\rm d}x}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {(u_1(t)+u_2(t))^2} {\rm d}x}$$=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {(u_1^2(t)+u_2^2(t)+2u_1(t)u_2(t))} {\rm d}x}$若兩個信號之間爲正交信號，例如兩個信號爲頻率不同的正弦信號，則兩信號之間的乘積的積分爲0，則原式可以化簡爲：
$=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {(u_1^2(t)+u_2^2(t))^2)} {\rm d}x}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {u_1^2(t)} {\rm d}x + \frac{1}{T}\int ^T_0 {u_2^2(t)} {\rm d}x}$$=\sqrt{U_{rms1}^2+U_{rms2}^2}$
合成的波動信號的電能力：
$E_{p}=\frac{1}{T}\int ^T_0 {u^2(t)} {\rm d}x=\frac{1}{T}\int ^T_0 {(u_1(t)+u_2(t))^2(t)} {\rm d}x$$=\frac{1}{T}\int ^T_0 {(u_1^2(t)+u_2^2(t)+2u_1(t)u_2(t))} {\rm d}x$$=\frac{1}{T}\int ^T_0 {u_1^2(t)} {\rm d}x +\frac{1}{T}\int ^T_0 {u_2^2(t)} {\rm d}x$$=E_{p2}+E_{p2}$
總結來說：
$E_{p}=E_{p2}+E_{p2}$$U_{rms}^2=U_{rms1}^2+U_{rms2}^2$
我們可以看出，如果兩個相互獨立正交的波動信號疊加，實際上是其電能力的一個疊加，而不是其有效值的疊加。

並且，其實仔細品味我們在對有效值和電能力的定義，可以發現，實際上我們是要求交流和直流先有相同的電能力，再在相同的電能力情況下，取直流電此時的電壓值作爲交流電的電能力的表徵值。因此有效值只是一個便於我們直觀表述的量，而電能力纔是我們真正想要表達的交流電的特徵量。

電能力有時候也被認爲是對於1Ω的電阻的電功率，因此某些時候我們說電功率其實實際上說的是電能力。

1.3噪聲的有效值和電能力

我們已經知道了，對於一個波動信號，如何求其有效值和電能力。那麼現在我們來看噪聲信號。

首先我們說，對於一個電路，其中必定存在着噪聲，噪聲一般來說是一個不斷變化的電信號，我們如果要對噪聲進行描述，可以參考上述對波動信號的描述方法。

一種方法是採用傅里葉變換來進行描述。通過傅里葉變化，我們可以看出，噪聲實際上是由不同頻率、不同幅值的正弦信號疊加而成。我們通過頻譜圖，可以直觀的看出，該噪聲信號的構成。

但是上述這種表達方法，在有些時候下，並不能直觀的表現出來，該噪聲的大小。比如說，現在有兩個噪聲的頻譜圖，讓我們判斷兩個噪聲那個更大，那個對我們的正常信號影響更大。如果這兩個圖差別不大，可能我們無法直接判斷出來。所以我們需要一些直觀、簡單的參數，來表示噪聲的某些性能，以便於我們能夠對噪聲的大小、性能等進行一個評估。

那麼我們也是可以採用有效值這一方法，來對噪聲信號的大小進行一個評估。有效值大的噪聲信號，我們認爲其在較長的時間內，比有效值小的信號，其平均而言的電參數要大。我們可以簡單的看出，我們更希望得到有效值爲0.1V的噪聲，而不是有效值爲1V的噪聲。

所以我們在噪聲信號中，引入了有效值和電能力兩個參數。但是如果我們採用相同的計算方法：

$U_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int ^T_0 {u^2(t)} {\rm d}x}$$E_p=\frac{1}{T}\int ^T_0 {u^2(t)} {\rm d}x$

這裏就有一個問題，那就是，對於噪聲來說，在一段時間內的值是不固定的，所以我們取一段時間內的噪聲值，算它的有效值和電能力，結果可能不具有較高的代表性。可能我們一段時間內算出來一個有效值，另一段時間又會算出來另一個有效值。因此我們只有取時間無限長，才能得到一個穩定的有效值。

此外，如果我們要通過上式得到有效值和電能力，就需要先對一個已經存在的電路進行一段時間的採樣。而往往我們需要在進行實際的電路設計之前就要對噪聲進行一個估計。

總結來說，噪聲也是一個波動信號，因此我們仍可以用電能力和有效值來對噪聲進行評估。但是原來的有效值和電能力的計算方法並不適用於未知噪聲的估計。因此我們需要尋找其他的計算有效值和電能力的方法。

1.4噪聲的電能力密度

如何找到這種方法？

我們回到噪聲的另一種表示方法，傅里葉的表示方法。我們發現，噪聲實際上是無數個不同頻率的正弦信號的組合，我們知道，不同頻率的正弦信號相互之間是正交的，而相互正交的波動信號的電能力是可以疊加的。那麼我們就能想到，如果對於一個噪聲信號，我們把其組成成分中所有頻率的正弦信號找到，求每一個正弦信號的電能力，再將其電能力疊加起來，就是整個噪聲的電能力。（這也就是爲什麼我們之前要尤其強調電能力能夠疊加這一問題）

通過這種方法，我們從頻域入手，避開了時域上的問題。也就是說，此時我們將原來的時域上的噪聲信號$u(t)$，拿到了頻率域$u(f)$上去分析。

（這裏對於時域和頻率域之間的關係，我在之前的《信號完整性分析筆記》一篇中，有一些介紹）

因此這裏我們引入一個新的概念，那就是電能力密度，即$f_a$頻率正弦波所具有的電能力，符號爲$D_E(f_a)$，其單位爲$V^2/Hz$。

那麼我們已知某噪聲信號在所有頻率下的電能力密度，通過積分就能得到該噪聲的總的電能力：
$E_p=\int ^\infty_0 {D_E(f)} {\rm d}f$
通過這個式子，我們在估計噪聲的時候，就不用實地進行某一段時間的實驗和測量來求得電能力，而只需要知道某噪聲信號的電能力隨頻率變化的曲線——電能力密度曲線。電能力密度曲線的橫軸爲頻率，單位爲Hz，縱軸爲電能力密度，單位爲$V^2/Hz$。這樣我們對電能力密度曲線在頻率上積分就能得到總的電能力，從而開根號得到有效值。

而電能力密度曲線對於常見的噪聲種類例如電阻熱噪聲，或對於市面上已有的電子產品，都是有相應的計算公式或者廠家已經給出的電能力密度曲線。這就讓我們估計電路的噪聲有了計算的依據。

1.5其他密度曲線

除了電能力密度以外，科學家們還定義了其他的密度曲線，例如：

電壓密度，單位爲$V/\sqrt{Hz}$，是電能力密度的開方。和電能力密度是同源的，知其一就能算出另一個。

功率譜密度，單位爲$W/Hz$，可以理解爲單位電阻所承載的電能力。

等等，理解起來和電能力密度相似，所以我們並不細說，用的時候再仔細說一下。

1.6噪聲的有效值和峯峯值之間的關係

我們可以通過有效值來判斷兩個噪聲之間那個噪聲水平較低，但是我們在進行示波器測量的時候，是無法直接看出來當前噪聲的有效值大小的。但是我們可以通過示波器簡單的找到當前噪聲的峯峯值。

此外我們在進行噪聲電路設計的時候，可能對於噪聲的峯值更加關注，尤其是對於AD轉換電路或者比較觸發電路等。因此我們需要得到一個峯峯值和有效值之間的關係。

噪聲是符合統計學規律的，在正態分佈中，在$\pm3\sigma$範圍內發生的概率爲99.9%，所以我們可以認爲噪聲的有效值和峯峯值之間的關係爲：
$U_{N-pp}=6.6U_{N-rms}$

即峯峯值爲有效值的6.6倍。

2.電路內部產生的噪聲

對於我們設計的電路，其噪聲來源大的方面來說，可以分爲以下兩類，一類是電路內部產生的噪聲。一類是由外部電路引入的干擾。首先我們先看電路內部產生的噪聲。

電路內部產生的噪聲，我們又可以按照不同的方法進行分類。一種方法是根據該噪聲的電能力密度曲線的形式來分類；另一種方法是根據噪聲產生的來源來進行分類。

2.1從波形上看——白噪聲和1/f噪聲

白噪聲又稱平坦噪聲。其電能力密度曲線爲一條直線，也就是說，這種噪聲的電能力與頻率無關，在各個頻率上均勻分佈。因此此時的電能力密度相對於頻率，是一個常數。
假設該常數爲：
$D_E(f)=K^2$

根據我們之前的公式，可以得到，在某一頻率範圍內（$f_a-f_b$），該噪聲的電能力爲：
$E_p=\int ^{f_b}_{f_a} {K^2} {\rm d}f=K^2(f_b-f_a)$

該噪聲的有效值爲：
$U_{rms}=K\sqrt{f_b-f_a}$

另一種噪聲爲1/f噪聲，其電能力密度曲線隨着頻率的增加而下降。且其電能力密度與頻率的導數成正比關係。也就是說，該噪聲的電能力密度爲：
$D_E(f)=C^2\frac{1 }{f}$

同樣我們可以得到該噪聲在某一頻率範圍內的電能力：
$E_p=\int ^{f_b}_{f_a} {C^2\frac{1}{f}} {\rm d}f=C^2\ln{\frac{f_b}{f_a}}$

以及該噪聲在某一頻率範圍內的有效值：
$U_{rms}=C\sqrt{\ln{\frac{f_b}{f_a}}}$

2.2噪聲計算中係數K和C的確定

如果要計算總的噪聲有效值，我們需要知道係數，還需要知道頻率範圍，這樣才能算出來一個具體的噪聲值。首先我們先看如何確定係數。

如果已知噪聲的總的電能力密度曲線（或電壓密度曲線），這種密度曲線一般來說是類似於1/f噪聲和白噪聲的組合，那麼我們通過一些方法把這種混合的電能力密度曲線分解成單獨的1/f噪聲和白噪聲，並得到兩種形式的噪聲的係數值。

舉例來說明：

如下圖所示，是常見器件的噪聲的電壓密度曲線。可以看到，這種曲線有這樣的特徵，低頻段以1/f噪聲爲主，並且隨着頻率的上升而下降，最終1/f噪聲幾乎不存在，而呈現出平坦的白噪聲的波形。

那麼通過波形分類的方法，我們如何來分析噪聲大小呢？

仔細觀察之前所說的1/f噪聲和白噪聲的計算公式，我們可以看到，在某頻率範圍內的噪聲大小，與頻率範圍以及係數K或者係數C有關。因此對於求噪聲的大小的問題，實際上就是確定係數大小和頻率範圍的問題。

對於係數值，我們分別來說。對於平坦噪聲，我們取頻率最高的那一點處的值爲K值。上圖可以看出，此時的K值約爲$9nV/\sqrt{Hz}$。所以K值就能得到了。除了看圖，在很多元件的數據手冊中，也會給出在高頻率下的噪聲電壓密度值，該值也是K值。所以我們可以通過看圖或者查表，十分容易的得到K的大小。

對於1/f噪聲來說，如果曲線包含了1Hz處的噪聲電壓密度，那麼我們知道，C爲1Hz處1/f噪聲的電壓密度值，而該曲線在1Hz處的噪聲是1/f噪聲和白噪聲的疊加，因此假設當前1Hz處的噪聲電壓密度爲D，則有：
$D^2=C^2+K^2$

我們已經得到K的大小，因此簡單計算，就能得到：
$C=\sqrt{D^2-K^2}$

這裏，我們看圖可知，D約爲$50nV/\sqrt{Hz}$，K約爲$9nV/\sqrt{Hz}$，則計算可得C約爲$49.1nV/\sqrt{Hz}$。
可是如果在曲線中沒有包含1Hz處的噪聲電壓密度，怎麼求C的大小呢？
我們取頻率最小的點$f_{min}$處的噪聲電壓密度$D(f_{min})$來計算。
$D(f_{min})^2=C(f_{min})^2+K^2=C^2\frac{1}{f_{min}}+K^2$

$C=\sqrt{\frac{f_{min}}{1}(D(f_{min})^2-K^2)}$

例如我們取3Hz處的值來計算，$D(3Hz)=23nV/\sqrt{Hz}$，$K=9nV/\sqrt{Hz}$，則：
$C=\sqrt{\frac{3}{1}(23^2-9^2)}=36.7nV/\sqrt{Hz}$

這樣我們也能夠得到C的大小。不過細心的同學可能發現，這兩次得到的C值不一致。其實這是因爲我們把曲線簡化成了1/f和白噪聲的疊加，但實際的器件往往並不是一個完美的1/f噪聲曲線和白噪聲的疊加。因此我們在簡化過程中引入了誤差，不過由於1/f噪聲的頻率範圍比較窄，因此有些許誤差並不對總的噪聲水平有太大的影響（上圖爲對數座標圖，因此低頻段的座標長度被拉大，高頻段的座標長度被壓縮，如果我們採用線性座標圖，就能發現，實際上1/f噪聲僅僅在20Hz範圍內存在，而白噪聲在10KHz範圍內都存在，因此最終的積分結果是，1/f噪聲對總的噪聲的影響力遠小於白噪聲）。

2.3噪聲計算中頻率上下限$f_a$和$f_b$的確定

我們要計算噪聲的有效值，除了已知係數K和C之外，還需要已知頻率的上下限，那麼接下來我們就探討一下如何確定噪聲的上下限。

首先對於白噪聲，一般來說，白噪聲的頻率上限要遠遠大於頻率下限，因此有以下公式：
$U_{rms}=K\sqrt{f_b-f_a}=K\sqrt{f_b}$

因此白噪聲只需要知道頻率上限即可。

如何確定白噪聲的頻率上限呢？我們知道白噪聲在無窮大的頻率上都是存在的，難道我們的積分上限爲無窮大嗎？如果是無窮大，這種積分算下來的值也是無窮，這樣就無法表示白噪聲的電能力和有效值了。

我們在數學中討論這個問題，確實會遇到積分上限無窮大的現象。但是幸運的是，噪聲是一個存在於真實世界中的東西，所以噪聲必定存在於某種電路之中。而任意一個電路，都有一個帶寬（關於帶寬的描述我在《信號完整性分析》讀書筆記中有過描述）。因此帶寬上限的存在，使得噪聲在超過帶寬上限後會快速衰減，這樣我們在積分的時候，可以認爲在超過某個頻率之後，噪聲的衰減十分大，因此之後的積分都爲0，這個頻率就是頻率上限。

這裏我們注意一個改變，之前說噪聲我們都是單獨對其進行分析，但是在這裏，我們將噪聲分析放在了一個具體的電路中。這就爲噪聲引入了新的影響。我們知道，任何一個電路對於其輸入信號都有一個增益的影響，最終表現爲一種輸出，例如RC濾波電路，這種信號輸入、電路、信號輸出的關係，我們在上一篇中進行了十分詳細的說明。這裏對於噪聲，也是如此，只是信號輸入爲噪聲，在電路的增益下，我們研究噪聲的輸出。這樣就引入了一個噪聲增益的問題，我們設噪聲增益爲：$A_n(j\omega)$或$|A_n(jf)|$，這裏噪聲增益就是我們之前的系統的增益，只是我們在傅里葉域中討論，就有一個頻率和相位和增益三者的關係，所以是以上的性質，其本質如我們在上一篇所說，都是系統本質的一種表現。

那麼我們有，輸入噪聲密度和輸出噪聲密度之間的關係：
$u_{n-out}(f)=|A_n(jf)|u_{n-in}(f)$

那麼我們之前所說的有效值的計算公式也變爲：
$U_{rms}=\sqrt{\int ^\infty_0 {u^2_{n-out}(f)} {\rm d}f}=\sqrt{\int ^\infty_0 {|A_n(jf)|^2u^2_{n-in}(f)} {\rm d}f}$

那麼回到我們所說的上限頻率的問題，如果我們所在的電路是一個RC低通濾波器，那麼如何利用上式，得到系統的上限頻率，進而得到整個噪聲的有效值$U_rms$？

我們知道，RC低通濾波器的系統增益爲：
$A_n(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega RC}$

設$f_0=\frac{1}{2\pi RC}$，則有
$A_n(jf)=\frac{1}{1+j\frac{f}{f_0}}$

$|A_n(jf)|^2=|\frac{1}{1+j\frac{f}{f_0}}|^2=\frac{1}{1+(f/f_0)^2}$

那麼，對於輸入爲K的白噪聲來說，輸出的噪聲的有效值爲：
$U_{rms}=\sqrt{\int ^\infty_0 {|A_n(jf)|^2u^2_{n-in}(f)} {\rm d}f}$$=\sqrt{\int ^\infty_0 {\frac{1}{1+(f/f_0)^2}K^2} {\rm d}f}$$=K\sqrt{\int ^\infty_0 {\frac{1}{1+(f/f_0)^2}} {\rm d}f}$$=K\sqrt{\frac{\pi}{2}f_0}=K\sqrt{1.57f_0}$

比較一下我們之前的公式
$U_{rms}=K\sqrt{f_b-f_a}=K\sqrt{f_b}$

可以看出，對於RC低通濾波器電路，我們的上限頻率就是$1.57f_0$

這裏不僅僅是得到一個上限頻率，更重要的是，我們關注的噪聲從輸入信號，經過了系統，變成了輸出信號。我們真正關心的實際上是系統的輸出噪聲的有效值，這個值纔是實際存在的值。

這裏我們可以看出，對於不同的系統，其增益不同，最後的上限頻率也不同，例如一階低通濾波器，$f_b=1.57f_0$；二階低通濾波器，$f_b=1.11f_0$；三階低通濾波器，$f_b=1.05f_0$。可見階數越高，上限頻率越接近於$f_0$。

常見的系統一般來說都可以找到這個$f_0$，一般來說爲系統的-3dB頻率，然後我們再根據系統的階數來確定$f_b$。例如，對於運算放大器來說，$f_0=F×GBW$，F爲反饋係數，GBW爲單位帶寬增益。

對於複雜系統來說，我們需要對噪聲增益進行具體和詳細的分析，才能得到最終的輸出噪聲的有效值。這一部分我們在最後會詳細介紹。

然後我們來看1/f噪聲，對於1/f噪聲，有
$U_{rms}=C\sqrt{\ln{\frac{f_b}{f_a}}}$

可以看出，我們的頻率下限$f_a$不能取0，否則算式也是無窮的。那麼這個值我們一般取0.1Hz，因爲工程上認爲，低於0.1Hz的噪聲，一般可以認爲是人造成的，與電路本身無關。

而頻率上限$f_b$取1/f的轉折處頻率即可，這裏頻率上限的取值實際上對結果影響不大，因爲這裏經過一次ln對數化，又經過了開放，因此即使$f_b$取大了，最終的結果也不會變化很大。

2.4從來源上看——電阻的熱噪聲和三極管的噪聲

任何電阻（導體）即使不與電源接通，其兩端也存在電壓，這是由於導體內部自由電子隨機的熱運動造成的。在某一個瞬時，一個方向運動的電子數目大於另一個方向運動的電子數目，這就造成了隨機的電壓的產生。這種由於電子隨機熱運動而產生的隨時間變化的電壓稱爲熱噪聲電壓。

純電抗元件沒有熱噪聲。（現實中不存在純電抗元件，但是數學中存在）

那麼我們有公式可以得到，熱噪聲的電能力密度和電壓密度分別爲：
$D_E(f)=4kTR$$V/\sqrt{B}=\sqrt{4kTR}$

其中k爲玻爾茲曼常數，其值爲$1.38×10^{-23}J/K$，T是熱力學溫度，單位是K，R爲電阻，單位是Ω。

可以看出，電阻熱噪聲是一種白噪聲。其電能力密度和電壓密度和頻率無關。

電阻熱噪聲的大小和阻值有關，阻值越大，噪聲的電能力密度和電壓密度越大。

三極管的噪聲較電阻的噪聲複雜，主要有熱噪聲、散粒噪聲、閃爍噪聲、雪崩噪聲等。其中散粒噪聲爲白噪聲，閃爍噪聲爲1/f噪聲。

上述噪聲的具體表達式這裏就不給出了，但是需要知道的是，三極管的噪聲隨着通過PN結的電流的增大而增大。

3.複雜電路噪聲計算實例

這裏我們以一個複雜電路的噪聲計算爲例，來感受一下一個真正嚴謹的噪聲運算的過程，以及對我們上述知識進行一個運用。

關注噪聲的一個重要應用就是光電二極管放大器電路。該電路常常採用電流—電壓轉換模式的運算放大器電路，該電路的模型如下：

該輸入信號爲電流源。通過如圖所示的電路圖，將十分微弱的小電流信號（一般爲uA甚至pA級的信號）放大到mV或者V級，因此對於這種小電流信號，噪聲的影響十分關鍵。這裏就需要對該電路的噪聲水平進行一個分析。

由於光電二極管中存在寄生電阻和寄生電容，反饋電阻也存在着雜散電容，以及我們之前所說的放大器的其他噪聲，因此我們需要對上圖電路進行一定的等效。

如圖所示爲等效後的噪聲模型。其中$R_1$爲光電二極管的寄生電阻，$C_1$爲光電二極管的寄生電容，$R_2$爲放大器的反饋電阻，$C_2$爲反饋電阻的雜散電容。$I_n$爲輸入噪聲電流，$E_n$爲輸入噪聲電壓，$I_r$爲電阻熱噪聲。

那麼我們來分析一下該電路的噪聲。

3.1輸入噪聲電流$I_n$的輸出噪聲譜密度

首先我們先分析簡單的輸入噪聲電流。

輸入噪聲電流$I_n$主要是輸入偏置電流$I_B$的散粒噪聲，其噪聲密度有公式可用：

$I_n=\sqrt{2qI_B}$

這裏，q爲電子所帶電荷量，爲$1.6×10^{-19}$C。

該輸入電流噪聲引起的噪聲電壓$E_{noi}$爲：

$E_{noi}=R_2I_n=R_2\sqrt{2qI_B}$

一般來說，輸入電流噪聲的噪聲密度值比較小，假設已知輸入偏置電流$I_B$=25nA，反饋電阻爲$R_2$=100KΩ，則$E_{noi}=8.94nV/\sqrt{Hz}$。

3.2電阻輸入噪聲電流$I_r$的輸出噪聲譜密度

電阻輸入噪聲的噪聲譜密度，可以直接根據我們上述所說的，電阻熱噪聲的公式來求得，這裏我們直接求出在輸出端的電阻熱噪聲：

$E_{nor}=\sqrt{4KTR_2}$

已知反饋電阻爲$R_2$=100KΩ，波爾茨曼常數K=$1.38×10^{-23}$，熱力學溫度T=298，則$E_{nor}=40.5nV/\sqrt{Hz}$

3.3輸入噪聲電壓$E_n$的輸出噪聲譜密度

最後我們來看輸入噪聲電壓$E_n$所造成的輸出噪聲譜密度。因爲放大器會對輸入噪聲電壓放大，因此該關係會比較的複雜。所以這裏，我們的思路是，已知輸入噪聲電壓的情況下，根據放大器電路，求出噪聲增益曲線，從而得到了該部分引起的輸出電壓噪聲噪聲密度和頻率之間的曲線，再對曲線各部分進行積分，從而得到總的噪聲功率（或有效值）。

首先，放大器的輸入噪聲電壓的噪聲譜密度一般來說是由運放的使用手冊給出。如下圖。

那麼我們需要做的就是根據電路圖求出噪聲增益曲線。

通過上一篇的講解，我們知道了對於運算放大器來說，其閉環增益約爲反饋係數的倒數，這裏在噪聲增益這裏也是適用的。我們有以下公式：
$噪聲增益A_n=\frac{1}{F}$

$反饋係數F=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}=\frac{R_1||\frac{1}{j2\pi fC_1}}{R_1||\frac{1}{j2\pi fC_1}+R_2||\frac{1}{j2\pi fC_2}}$

化簡得：
$噪聲增益A_n=\frac{1}{F}=(1+\frac{R_2}{R_1})\frac{1+j2\pi fR_2C_2}{1+j2\pi f(R_1||R_2)(C_1+C_2)}$

設：
$f_p=\frac{1}{2\pi R_2C_2}$

$f_z=\frac{1}{2\pi (R_1||R_2)(C_1+C_2)}$

則
$\frac{1}{F}=(1+\frac{R_2}{R_1})\frac{1+j\frac{f}{f_z}}{1+j\frac{f}{f_p}}$

可以看出，該增益爲積分環節和微分環節的組合，且各環節的轉折頻率之間的關係爲$f_z<f_p$，且在低頻段的時候$\frac{1}{F}=1+\frac{R_2}{R_1}=1$（$R_2>>R_1$），在高頻段的時候$\frac{1}{F}=1+\frac{C_1}{C_2}$。

因此曲線的圖像爲，開始爲直線$1+\frac{R_2}{R_1}$，在$f_z$處向上轉折45度，再在$f_p$處向下轉折45度，然後曲線爲直線$1+\frac{C_1}{C_2}$。

當增益達到開環增益時，如果沒有開環增益的限制，曲線會保持直線，但是由於存在開環增益的限制，曲線在交叉頻率$f_x$處產生滾降。根據單位增益帶寬$f_t$的定義，我們有以下等式：

$f_x×\frac{1}{F}=f_t$

$f_x=f_t×F=\frac{C_2}{C_1+C_2}f_t$

總結來說，最終的曲線有三個拐點，拐點處的頻率分別爲：$f_z$，$f_p$，$f_x$。

因此，噪聲的增益爲：

$A_n=(1+\frac{R_2}{R_1})\frac{1+jf/f_z}{(1+jf/f_p)(1+jf/f_x)}$

因此，該部分噪聲最終得到的輸出噪聲的密度爲：

$E_{noe}(f)=A_n(f)E_n$

3.4已知電阻噪聲和電流噪聲的輸出噪聲譜密度求輸出噪聲的有效值

到這裏我們已經求出來了三個不同噪聲源所產生的對應的輸出電壓噪聲譜密度，我們需要知道的是，該噪聲譜密度最終得到的噪聲的總功率和有效值是多少。

通過上文的學習，我們知道了，只需要對噪聲譜密度在所需頻率範圍內進行積分即可。但是頻率範圍不能是無限大的，因此我們需要得到噪聲積分的頻率範圍。

參考之前所說的把電路看做一階濾波系統從而得到積分的帶寬，這裏我們也是採用這種思想，來實現對放大器電路的積分。下面我們就具體說明如何確定積分的帶寬。

首先對於電流噪聲和電阻噪聲，其經過了放大器反饋電路，而放大器反饋電路若將其看做是一個一階濾波電路的話，其信號在某個頻率處存在一個滾降，該頻率$f_{b0}$爲：

$f_{b0}=\frac{1}{2\pi R_2(C_1+C_2)}$

那麼把該一階濾波電路再進一步抽象，看做是理想的濾波器，那麼最終我們得到的頻率上限$f_b$爲：
$f_b=1.57f_{b0}=\frac{1}{2\pi R_2(C_1+C_2)}=\frac{1}{4 R_2(C_1+C_2)}$

我們知道，對於功率譜密度爲常數的噪聲，我們的計算方法是：

$U_{rms}=K\sqrt{f_b-f_a}=K\sqrt{f_b}$

因此，我們可以算出電阻熱噪聲的輸出電壓的有效值：

$U_{nor}=\sqrt{4KTR_2f_b}=\sqrt{\frac{KT}{C_1+C_2}}$

以及電流噪聲的輸出電壓的有效值：

$U_{noi}=R_2\sqrt{2qI_Bf_b}=\sqrt{\frac{qI_BR_2}{2 (C_1+C_2)}}$

3.5已知電壓噪聲的噪聲增益求輸出噪聲的有效值

對於電壓噪聲來說，有所不同，因爲電壓噪聲不能簡單的看做常數型噪聲，也不是1/f類型的噪聲，而是複雜形狀的噪聲曲線。因此我們需要對該曲線進行分段積分再求和，才能得到總的輸出噪聲的有效值。

根據上文的分析，我們已知：

噪聲增益爲：

再從數據手冊中得到輸入電壓噪聲的電壓譜曲線圖：

那麼我們的輸出噪聲譜密度曲線是上面兩個曲線的疊加：

通過這個曲線，我們可以分別計算上述五個區域的電能力，然後相加得到總的電能力，從而得到總的輸出電壓噪聲的有效值。

那麼我們分別來計算各個區域的電能力和有效值：

對於區域一：

是一個1/f噪聲，這裏取積分下限爲0.1Hz或0.01Hz即可，積分上限取轉角頻率$f_{corner}$即可。且在低頻段所以這一部分的噪聲電壓的有效值爲：
$U_{noe1}=\sqrt{[(1+\frac{R_2}{R_1})E_n]^2f_{corner}\ln{\frac{f_{corner}}{0.1Hz}}}$$=(1+\frac{R_2}{R_1})E_n\sqrt{f_{corner}\ln{\frac{f_{corner}}{0.1Hz}}}$

對於區域二：

這一部分爲常數的噪聲曲線，因此有：
$U_{noe2}=\sqrt{[(1+\frac{R_2}{R_1})E_n]^2(f_{zf}-f_{corner})}$$=(1+\frac{R_2}{R_1})E_n\sqrt{f_{zf}-f_{corner}}$

對於區域三：

這一部分的噪聲曲線在對數上是以某個斜率直線上升的，因此有：
$U_{noe3}=\frac{E_n}{f_{zf}}\sqrt{\frac{f_{pf}^3-f_{zf}^3}{3}}$

這裏，
$f_{pf}=\frac{1}{2\pi R_2C_2}$

$f_{zf}=\frac{1}{2\pi (R_1||R_2)(C_1+C_2)}$

對於區域四：

這一部分的噪聲也是常數型額定，因此有：

$U_{noe4}=(1+\frac{C_1}{C_2})E_n\sqrt{f_{i}-f_{pf}}$

這裏，$f_{i}$就是我們上述的交點頻率，因此有：
$f_i=f_c×F=\frac{C_2}{C_1+C_2}f_c$

對於區域五：

該部分的噪聲，也是一個對數直線型的噪聲曲線，因此有：
$U_{noe5}=E_nf_{c}\sqrt{\frac{1}{f_i}}$

那麼總的輸出噪聲電壓的有效值爲上述各部分有效值的平方和：
$U_{noe}=\sqrt{U_{noe1}^2+U_{noe2}^2+U_{noe3}^2+U_{noe4}^2+U_{noe5}^2}$

（這裏如果通過計算髮現$f_{zf}$小於$f_{corner}$，這就表明上述的區域2不存在，曲線沒有這一段平坦區域，那麼這裏計算的時候將區域2的電壓的有效值視爲0即可）

3.6總輸出電壓噪聲的有效值計算

總的輸出電壓噪聲的有效值爲上述三個噪聲有效值的平方和:

$U_{no}=\sqrt{U_{nor}^2+U_{noi}^2+U_{noe}^2}$

有了有效值，我們可以估計出噪聲的峯峯值爲：

$U_{pp}=6.6U_{no}$

4.複雜電路噪聲降噪處理

在實際電路中，我們通過上述的計算，很有可能得到的噪聲水平較大，這時就需要我們對電路進行一些降噪處理。

我們通過計算可以看出，噪聲的主要部分是輸入電壓噪聲和噪聲增益所產生的這一部分噪聲，這這一部分噪聲中，又以區域3、區域4、區域5爲主要貢獻區域。因此我們主要把目光集中在這幾個區域。

因此我們有以下思路：

降低區域3的帶寬，也就是將$f_{zf}$向右移。

降低區域4的增益幅度。可以通過增加反饋電容來實現：

降低區域5的帶寬，也就是將$f_{c}$向左移。可以通過相位補償來實現：