luogu P1891 瘋狂LCM

背景：

推了好久的式子，發現一開始錯了。

題目傳送門：

https://www.luogu.org/problem/P1891


$\sum_{i=1}^{n}\text{lcm}(i,n)$

$=\sum_{i=1}^{n}\frac{n\cdot i}{\gcd(i,n)}$

$=n\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{k}[\gcd(i,n)=k]$

顯然有$k|n$，所以：
$=n\sum_{k|n}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{k}[\gcd(i,n)=k]$

$=n\sum_{k|n}\sum_{i=1}^{\frac{n}{k}}\frac{i}{k}[\gcd(\frac{i}{k},\frac{n}{k})=1]$

$=n\sum_{k|n}\sum_{i=1}^{k}i[\gcd(i,\frac{n}{k})=1]$

令$d=\frac{n}{k}$，有：
$=n\sum_{d|n}\sum_{i=1}^{d}i[\gcd(i,n)=1]$

考慮$\sum_{i=1}^{d}i[\gcd(i,n)=1]=\frac{d\cdot\phi_d}2{}$，預處理即可。

代碼：