题目英文
A robot is located at the top-left corner of a m x n grid (marked ‘Start’ in the diagram below).
The robot can only move either down or right at any point in time. The robot is trying to reach the bottom-right corner of the grid (marked ‘Finish’ in the diagram below).
How many possible unique paths are there?
Above is a 7 x 3 grid. How many possible unique paths are there?
Note: m and n will be at most 100.
Example 1:
Input: m = 3, n = 2
Output: 3
Explanation:
From the top-left corner, there are a total of 3 ways to reach the bottom-right corner:
1. Right -> Right -> Down
2. Right -> Down -> Right
3. Down -> Right -> Right
Example 2:
Input: m = 7, n = 3
Output: 28
题目中文
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
说明：m 和 n 的值均不超过 100。
示例 1:
输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
示例 3:
输入: m = 23, n = 12
输出: 193536720
算法实现
方式一：利用递归
public class Solution
{
private int _m;
private int _n;
public int UniquePaths(int m, int n)
{
_m = m;
_n = n;
int count = 0;
RecordPaths(0, 0, ref count);
return count;
}
private void RecordPaths(int i, int j, ref int count)
{
if (i == _m - 1 && j == _n - 1)
{
count++;
return;
}
if (i < _m)
{
RecordPaths(i + 1, j, ref count);
}
if (j < _n)
{
RecordPaths(i, j + 1, ref count);
}
}
}
使用递归的方式，容易理解但会耗费大量的时间，所以在运行 示例3 的时候，超时了。
方式二：利用动态规划
动态规划表格01：
动态规划表格02：
动态规划的最优子结构为：d[i,j] = d[i-1,j] + d[i,j-1]
public class Solution
{
public int UniquePaths(int m, int n)
{
int[,] memo = new int[m, n];
for (int i = 0; i < m; i++)
{
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (i == 0)
{
memo[i, j] = 1;
}
else if (j == 0)
{
memo[i, j] = 1;
}
else
{
memo[i, j] = memo[i - 1, j] + memo[i, j - 1];
}
}
}
return memo[m - 1, n - 1];
}
}
实验结果
- 状态：通过
- 62 / 62 个通过测试用例
- 执行用时: 52 ms, 在所有 C# 提交中击败了 93.18% 的用户
- 内存消耗: 13.6 MB, 在所有 C# 提交中击败了 17.65% 的用户
相关图文
1. “数组”类算法
- LeetCode实战：三数之和
- LeetCode实战：最接近的三数之和
- LeetCode实战：求众数
- LeetCode实战：缺失的第一个正数
- LeetCode实战：快乐数
- LeetCode实战：寻找两个有序数组的中位数
- LeetCode实战：盛最多水的容器
- LeetCode实战：删除排序数组中的重复项
- LeetCode实战：搜索旋转排序数组
- LeetCode实战：螺旋矩阵
2. “链表”类算法
- LeetCode实战：两数相加
- LeetCode实战：删除链表的倒数第N个节点
- LeetCode实战：合并两个有序链表
- LeetCode实战：合并K个排序链表
- LeetCode实战：两两交换链表中的节点
- LeetCode实战：旋转链表
- LeetCode实战：环形链表
3. “栈”类算法
4. “队列”类算法
5. “递归”类算法
6. “字符串”类算法
7. “树”类算法
8. “哈希”类算法
9. “搜索”类算法
10. “动态规划”类算法
11. “回溯”类算法
11. “数值分析”类算法