線段樹概念
線段樹(segment Tree) 是一種基於分治思想的二叉樹結構，用於區間上進行信息統計用的。
數據結構定義
- 線段樹每個節點都代表一個區間。
- 線段樹具有唯一根節點，代表整個區間。
- 線段樹每個葉子節點代表一個長度爲１的元區間。
- 對於每個內部節點，它的左子節點是[l, mid], 右子節點是[mid + 1, r], mid = (l + r ) / 2 ，向下取整。
數據結構操作
線段樹的建立
關鍵在於遞歸的自下向上進行數據傳遞
當前節點的數據 = 左子樹+ 右子樹。
當然由於數據的不同, 數據的加法的方式也不同，
例如：
- 如果維護的區間最大值 : 當前的值= max(左子樹, 右子樹)
- 如果是維護區間和: 當前值 = 左子樹 + 右子樹。
拿這個題目爲例子
struct SegmentTree {
int l, r;
long long int sum, add;
#define l(x) t[x].l
#define r(x) t[x].r
#define sum(x) t[x].sum
#define add(x) t[x].add
} t [SIZE * 4];
void build(int p, int l, int r) {
l(p) = l, r(p) = r;
if (l == r) {sum(p) = arr[l]; return;}
int mid = (l + r) / 2;
build(p * 2, l, mid);
build(p * 2 + 1, mid + 1, r);
sum(p) = sum(p * 2) + sum(p * 2 + 1);
return;
}
線段樹的修改
線段樹的單點修改
就是先找到這個點，然後自底向上的進行修改
例如，問題是求區間最大和，然後修改某個節點的值。
void change(int p, int x, int v) {
if (t[p].l == t[p].r) {t[p].data = v; return;}
int mid = (t[p].l + t[p].r) / 2;
if (x <= mid) change(p * 2, x, v);
else change(p * 2 + 1, x, v);
t[p].data = max(t[p * 2].data, t[p * 2 + 1].data);
return;
}
線段數的延遲標記 + 區間修改
如果每次對區間進行修改需要落實到區間的每個元素上，那麼時間複雜度會達到O(n)，這是比較低效的行爲。
那麼針對這個問題，如果更新了節點p代表的區間[pl,pr]，並將子樹p中的所有節點都進行了更新，但是之後的查詢過程中，根本沒有用到這些區間的值，那麼更新子樹的行爲就是徒勞的行爲。
所以我們通過增加一個標識，標識該節點曾經被修改，但是其子節點沒有被更新。
如果在後續的指令中，需要從節點ｐ向下遞歸，我們再檢查ｐ是否具有標記，若有標記，就更新ｐ的兩個子節點，同時標記ｐ的兩個子節點，清楚ｐ的標記。
也就是說，除了在修改指令中直接劃分成的O(logN)個節點外，對任意節點的修改都延遲到“在後續操作中遞歸進入它的父節點時候”再執行。
例如這道模板題的延遲更新如下：
void spread(int p) {
if (add(p)) {
sum(p * 2) += add(p) * (r(p * 2) - l(p * 2) + 1);
sum(p * 2 + 1) += add(p) * (r(p * 2 + 1) - l(p * 2 + 1) + 1);
add(p * 2) += add(p);
add(p * 2 + 1) += add(p);
add(p) = 0;
}
}
區間更改如下：
void change(int p, int l, int r, int d) {
if (l <= l(p) && r >= r(p)) {
sum(p) += (long long)d * (r(p) - l(p) + 1);
add(p) += d;
return;
}
spread(p);
int mid = (l(p) + r(p)) / 2;
if (l <= mid) change(p * 2, l, r, d);
if (mid < r) change(p * 2 + 1, l, r, d);
sum(p) = sum(p * 2) + sum(p * 2 + 1);
return;
}
查找
- 若[l,r]覆蓋當前節點代表的區間就立刻返回回溯。
- 若左子節點與[l,r]有交集，則遞歸左子樹
- 若右子節點與[l,r]有交集，則遞歸右子樹
long long ask(int p, int l, int r) {
if (l <= l(p) && r >= r(p)) {
return sum(p);
}
spread(p);
int mid = (l(p) + r(p)) / 2;
long long val = 0;
if (l <= mid) val += ask(p * 2, l, r);
if (mid < r) val += ask(p * 2 + 1, l, r);
return val;
}
完整代碼
#include <iostream>
using namespace std;
#define SIZE 100005
long long int arr[SIZE] = {0};
struct SegmentTree {
int l, r;
long long int sum, add;
#define l(x) t[x].l
#define r(x) t[x].r
#define sum(x) t[x].sum
#define add(x) t[x].add
} t [SIZE * 4];
void build(int p, int l, int r) {
l(p) = l, r(p) = r;
if (l == r) {sum(p) = arr[l]; return;}
int mid = (l + r) / 2;
build(p * 2, l, mid);
build(p * 2 + 1, mid + 1, r);
sum(p) = sum(p * 2) + sum(p * 2 + 1);
return;
}
void spread(int p) {
if (add(p)) {
sum(p * 2) += add(p) * (r(p * 2) - l(p * 2) + 1);
sum(p * 2 + 1) += add(p) * (r(p * 2 + 1) - l(p * 2 + 1) + 1);
add(p * 2) += add(p);
add(p * 2 + 1) += add(p);
add(p) = 0;
}
}
void change(int p, int l, int r, int d) {
if (l <= l(p) && r >= r(p)) {
sum(p) += (long long)d * (r(p) - l(p) + 1);
add(p) += d;
return;
}
spread(p);
int mid = (l(p) + r(p)) / 2;
if (l <= mid) change(p * 2, l, r, d);
if (mid < r) change(p * 2 + 1, l, r, d);
sum(p) = sum(p * 2) + sum(p * 2 + 1);
return;
}
long long ask(int p, int l, int r) {
if (l <= l(p) && r >= r(p)) {
return sum(p);
}
spread(p);
int mid = (l(p) + r(p)) / 2;
long long val = 0;
if (l <= mid) val += ask(p * 2, l, r);
if (mid < r) val += ask(p * 2 + 1, l, r);
return val;
}
int main() {
int N, M;
cin >> N >> M;
for (int i = 1; i <= N; i++) {
cin >> arr[i];
}
build(1, 1, N);
int op, x, y, d;
for (int i = 0; i < M; i++) {
cin >> op >> x >> y;
switch(op) {
case 1:{cin >> d;change(1, x, y, d);break;}
case 2:{cout << ask(1, x, y) << endl;break;}
}
}
return 0;
}