本人在購買極客學院王爭老師的《數據結構與算法之美》後，覺得裏面的內容還不錯，適合新手入門，故將自己的學習筆記整理了下，做個記錄，供學習使用，另裏面存在個人理解，難保會有差錯，歡迎大家在評論區討論，侵刪。
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複雜度分析
設計算法和數據結構的時候，我們會盡量讓代碼運行得更快，更省存儲空間，那麼，用什麼方法來衡量呢？這裏就要用到我們今天要講的內容：時間複雜度分析、空間複雜度分析。
1 時間複雜度
1.1 公式分析
先把公式附上：
- n代表數據規模的大小
- T(n)代表代碼執行的時間
- f(n)表示每行代碼執行的總數之和，因爲是個以n爲自變量的函數，故用f(n)表示
- O（大寫的o）用來表示T(n)與f(n)成正比
第一個例子：
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for (; i <= n; ++i) {
sum = sum + i;
}
return sum;
}
假設每一行代碼運行的時間是一樣的，爲一個時間單位Unit_time，則第2、3、7行各運行了1個Unit_time，第4、5行各運行了n遍，即最後爲2n+3個時間單位。
T(n)=O(f(n))=O(2n+3)
第二個例子：
int cal(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for (; i <= n; ++i) {
j = 1;
for (; j <= n; ++j) {
sum = sum + i * j;
}
}
}
假設每一行代碼運行的時間是一樣的，爲一個時間單位Unit_time，則第2、3、4行各運行了1個Unit_time，第5、6行各運行了n遍，第7、8行各運行了n*n遍，即最後爲2n^2+2n+3個時間單位。
T(n)=O(f(n))=O(2n^2+2n+3)
好了，我們現在引出時間複雜度的概念，所有代碼的執行時間T(n)與每行代碼的執行次數n成正比，即T(n)=O(f(n))。
這裏的大O時間複雜度表示法，實際上並不具體表示代碼真正的執行時間，而是表示代碼執行時間隨數據規模增長的變化趨勢，所以，也叫作漸進時間複雜度（asymptotic time complexity），簡稱時間複雜度。
另外，當數據量規模n變大，公式中的低階、常量、係數三部分並不左右增長趨勢，所以都可以忽略。我們只需要記錄一個最大量級就可以了。
第一個例子的時間複雜度爲：T(n)=O(n)
第一個例子的時間複雜度爲： T(n)=O(n^2)
1.2 方法
這裏，給了三個trick：
- 只關注循環次數最多的一段代碼
- 加法法則：總複雜度等於量級最大的那段代碼的複雜度
- 乘法法則：嵌套代碼的時間複雜度由嵌套內外的時間複雜度相乘。如上面的例子2是有兩個for循環嵌套起來的，其實可以看成
g1(g2(n))，故最後爲n*n
1.3 常見時間複雜度公式
- 粗略的分爲，多項式量級和非多項式量級，只有O(2^n)和O(n!)是非多項式量級
- 隨着數據規模n的增加，非多項式量級（NP複雜度）會爆發式增長，耗費時間也越來越多，是效率非常低的算法
- O(1)是常量級時間複雜度的一種表達方式，不是指只運行了一行，運行了100行、一萬行這種數目一定的都是O(1)
- O(logn）是對數時間複雜度，因爲係數可以省略，所以log2n、log3n這種都說logn
- O(m+n)這種是有兩個數據規模存在，因爲事先不能確定二者的量級，故不能簡單的用加法法則表示
2 空間複雜度
既然時間複雜度是指漸進時間複雜度，那麼相似的，空間複雜度也是相似空間複雜度（asymptotic space complexity），表示算法的存儲空間與數據規模之間的增長關係。
void print(int n) {
int i = 0;
int[] a = new int[n];
for (i; i = 0; --i) {
print out a[i]
}
}
第2行申請一個存儲單位i，第三行申請n個存儲單位，故空間複雜度爲O(n)
Tips: 常見的空間複雜度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 這樣的對數階複雜度平時都用不到。
3.小結
- 時間複雜度：漸進時間複雜度，表示算法的執行時間與數據規模之間的增長關係
- 空間複雜度：漸進空間複雜度，表示算法的存儲空間與數據規模之間的增長關係
4.課後思考
有人說，我們項目之前都會進行性能測試，再做代碼的時間複雜度、空間複雜度分析，是不是多此一舉呢？而且，每段代碼都分析一下時間複雜度、空間複雜度，是不是很浪費時間呢？你怎麼看待這個問題呢？
不是這樣的，我覺得作爲一個合格的開發人員，要對開發有敬畏之心。
像廚師想炒出色香味俱全的菜餚一樣，我們對code也要有追求。
當你打出時間空間複雜度方面都很優秀的代碼的時候，你會覺得很自豪，就像士兵勝戰而歸，美人笑顏相對。
而且，時不時的考慮複雜度方面的問題，對改進算法的方向能有一個大致的把握，對自我能力的提升也是很有幫助的。