差分約束系統

差分約束系統

概念: 差分約束系統是特殊的n元一次不等式組，它包含$N$個變量，$x_1 - x_n$以及$m$個約束條件，每一個約束條件由兩個變量作差構成的，類似於$x_i-x_j \leq a_k$，需要解決的問題是找到一組解，使得給出的約束條件得到滿足。

如何解決差分約束系統 -> 最短路算法

現在已知
$B - A \leq c$
$C - B \leq a$
$C - A \leq b$
如果現在要求$C-A$的最大值，那麼可以知道 $max(C-A) = min(b,a+c)$
現在我們將圖建出來，how to build?

差分約束建圖技巧

1.對於一個全部都是$\leq$的不等式組，我們可以把式子轉化爲$X_i \leq X_j+W(i,j)$,即$i,j$建邊，$X_j->X_i=W(i,j)$,用最短路算法解決問題，求得最小值
2.對於一個全部都是$\geq$號的不等式組，我們可以將每個式子轉化爲$X_i \geq X_j+W(i,j)$ ,即$i,j$建邊，$X_j->X_i=W(i,j)$,用最長路算法解決，求得最大值
如果dis[Xi]爲inf或-inf,那麼Xi爲任意解
如果求最短路的過程中出現負環，那麼說明該不等式組無解