学号:2019E8013261007
班级:705
姓名:蔡少斐
图像处理作业第三次
1.根据书中对傅立叶变换的定义,证明课本165页上有关傅立叶变换的平移性质。
F(u−u0,v−v0)
=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)e−j2π((u−u0)x/M+(v−v0)y/N)
=∑x=0M−1∑y=0N−1f(x,y)ej2π(u0x/M+v0y/N)e−j2π(ux/M+vy/N)
=DFT(f(x,y)ej2π(u0x/M+v0y/N))
f(x−x0,y−y0)
=∑u=0M−1∑v=0N−1F(u,v)ej2π((x−x0)u/M+(y−y0)v/N)
=∑u=0M−1∑v=0N−1f(x,y)e−j2π(xu0/M+yv0/N)ej2π(xu/M+yv/N)
=IDFT(F(u,v)ej2π(xu0/M+yv0/N))
2. 课本171页上习题4.9。
f(x,y)→f(x,y)(−1)(x+y)
则根据如下公式,可得
F(u−2M,v−2N)=∑∑f(x,y)(−1)(x+y)e−j2π(xu/M+yv/N)
→F(u−2M,v−2N)=DFT(f(x,y)(−1)(x+y))....(a)
进行共轭变换,可得
F∗(u−2M,v−2N)=F(2M−u,2N−v)
根据比例性 ,那么(a)式可以写成:
F(2M−u,2N−v)=DFT(f(−x,−y)(−1)(x+y))
最后每个像素乘以(−1)(x+y)得到
f(−x,−y)=f(M−x,N−y)
由此,关于中心对称。
3.证明高斯的傅立叶变换还是高斯函数。
已知:
e−π(x2+y2)=IDFT(e−π(u2+v2))
根据比例性
令u←2πσ1u,v←2πσ1v
那么比例系数 a=b=2πσ1
f(ax,by)=∣ab∣1F(u/a,v/b)
即有
F(u,v)=IDFT(Ae−(u2+v2)/2σ2)=A2πσ2e−π2σ2(x2+y2)