2.8.1 矩陣的合同

1 定義

• 現給出 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}$，則 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{Cy}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Cy}=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{y}$。記 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}$，則 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}=g(\boldsymbol{y})$。此時二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 通過線性變換 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}$ 得到一個新二次型 $g(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}$。

• 設 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 爲 $n$ 階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$，則稱 $\boldsymbol{A}$ 與 $\boldsymbol{B}$ 合同，記作 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，此時稱 $f(\boldsymbol{x})$ 與 $g(\boldsymbol{y})$ 爲合同二次型。

2 本質

• 在二次型中，$\boldsymbol{A}$ 與 $\boldsymbol{B}$ 的合同，就是指同一個二次型在可逆性變換下的兩個不同狀態的聯繫。

3 性質

• $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{A}$（反身性）
• 若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，則 $\boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{A}$。（對稱性）
• 若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{C}$，則 $\boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{C}$。（傳遞性）
• 若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，則 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$，因此可逆線性變換不會改變二次型的秩。

由於在二次型中，二次型的矩陣都是對稱矩陣，所以和對稱矩陣合同的矩陣也必是對稱矩陣，因爲若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，即存在可逆矩陣 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$，其中 $\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}$，則 $\boldsymbol{B}^T=(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})^T=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$。

4 合同標準形和合同規範形

• 合同標準形：若二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 合同於標準形 $d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$，則稱 $d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$ 爲 $f(\boldsymbol{x})$ 的合同標準形。
• 合同規範形：若二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 合同於規範形 $x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$，則稱 $x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$ 爲 $f(\boldsymbol{x})$ 的合同規範形。

5 二次型 $\rightarrow$ 標準形、規範形

• 任何二次型均可通過配方法（作可逆線性變換）化成標準形及規範形，用矩陣語言表述：任何實對稱矩陣 $\boldsymbol{A}$，必存在可逆矩陣 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$，其中 $\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} d_1 \\ & d_2 \\ & & \ddots \\ & & & d_n \end{bmatrix}$ 或 $\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & -1 \\ & & & & \ddots \\ & & & & & -1 \\ & & & & & & 0 \\ & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & 0 \end{bmatrix}$。
• 任何二次型均可通過正交變換化成標準形，用矩陣語言表述：任何實對稱矩陣 $\boldsymbol{A}$，必存在正交矩陣 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$，其中 $\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$。

5.1 用配方法化二次型爲標準形、規範形

• 化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$ 爲標準形並寫出所作的可逆線性變換。
• 用矩陣表述爲：設 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$，求可逆線性變換 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$，並寫出 $\boldsymbol{\Lambda}$。

1. 若有平方項，應將平方項與其交叉項配成完全平方；若沒有平方項，應作可逆線性變換 $\begin{cases} x_1=y_1+y_2\\ x_2 = y_1 - y_2\\ x_3 = y_3 \end{cases}$，使其出現平方項，然後再配完全平方。
2. 當總的平方項的個數小於變量數目時，應當補齊，如 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2+0x_3^2$。

通過配方法可以得到：

1. 所做的可逆線性變換
2. 與 $\boldsymbol{A}$ 合同的對角矩陣
3. 二次型（或 $\boldsymbol{A}$）的秩
4. 正、負慣性指數
5. 是否正定

5.2 用正交變換化二次型爲標準形

• 用正交變換化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$ 爲標準形並求所作的正交變換。
• 用矩陣語言表述爲：設 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ \end{bmatrix}$，求正交矩陣 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$，並寫出對角矩陣 $\boldsymbol{\Lambda}$。

1. 求 $\boldsymbol{A}$
2. 求特徵矩陣和特徵向量
3. 正交化（如果需要的化）、規範化

1. $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii},\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i$；
2. 當 $\lambda_i \ne \lambda_j,i \ne j$ 時，$(\boldsymbol{\xi}_i,\boldsymbol{\xi}_j)=0$。

• 正交變換隻能化二次型爲標準形，不能化爲規範形（除非特徵值都屬於 $\{1,-1,0\}$。
• 正交變換不唯一，但是標準形卻是唯一的，求的特徵值後即可得到標準形爲 $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。

6 慣性定理

• 無論選取什麼樣的可逆線性變換，將二次型化成標準形或規範形，其正項個數 $p$，負項個數 $q$ 都是不變的，$p$ 稱爲正慣性指數，$q$ 稱爲副慣性指數。
• 若二次型的秩爲 $r$，則 $r=p+q$，合同變換不改變正、負慣性指數。
• 兩個二次型（或實對稱矩陣）合同的充要條件是有相同的正負慣性指數或有相同的秩及正（或負）慣性指數。