2.8.1 矩阵的合同

1 定义

• 现给出 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$，令 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}$，则 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{Cy}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Cy}=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})\boldsymbol{y}$。记 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}$，则 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}=g(\boldsymbol{y})$。此时二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 通过线性变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Cy}$ 得到一个新二次型 $g(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{B}\boldsymbol{y}$。

• 设 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，记作 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，此时称 $f(\boldsymbol{x})$ 与 $g(\boldsymbol{y})$ 为合同二次型。

2 本质

• 在二次型中，$\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 的合同，就是指同一个二次型在可逆性变换下的两个不同状态的联系。

3 性质

• $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{A}$（反身性）
• 若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，则 $\boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{A}$。（对称性）
• 若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}, \boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{C}$，则 $\boldsymbol{B} \simeq \boldsymbol{C}$。（传递性）
• 若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，则 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{B})$，因此可逆线性变换不会改变二次型的秩。

由于在二次型中，二次型的矩阵都是对称矩阵，所以和对称矩阵合同的矩阵也必是对称矩阵，因为若 $\boldsymbol{A} \simeq \boldsymbol{B}$，即存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$，其中 $\boldsymbol{A}^T=\boldsymbol{A}$，则 $\boldsymbol{B}^T=(\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C})^T=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}^T\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{B}$。

4 合同标准形和合同规范形

• 合同标准形：若二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 合同于标准形 $d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$，则称 $d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$ 为 $f(\boldsymbol{x})$ 的合同标准形。
• 合同规范形：若二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 合同于规范形 $x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$，则称 $x_1^2+\cdots+x_p^2-x_{p+1}^2-\cdots-x_{p+q}^2$ 为 $f(\boldsymbol{x})$ 的合同规范形。

5 二次型 $\rightarrow$ 标准形、规范形

• 任何二次型均可通过配方法（作可逆线性变换）化成标准形及规范形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$，必存在可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$，其中 $\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} d_1 \\ & d_2 \\ & & \ddots \\ & & & d_n \end{bmatrix}$ 或 $\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} 1 \\ & \ddots \\ & & 1 \\ & & & -1 \\ & & & & \ddots \\ & & & & & -1 \\ & & & & & & 0 \\ & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & 0 \end{bmatrix}$。
• 任何二次型均可通过正交变换化成标准形，用矩阵语言表述：任何实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$，必存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$，其中 $\boldsymbol{\Lambda}=\begin{bmatrix} \lambda_1 \\ & \lambda_2 \\ & & \ddots \\ & & & \lambda_n \end{bmatrix}$。

5.1 用配方法化二次型为标准形、规范形

• 化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3-x_2^2-2x_2x_3-x_3^2$ 为标准形并写出所作的可逆线性变换。
• 用矩阵表述为：设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$，求可逆线性变换 $\boldsymbol{C}$，使得 $\boldsymbol{C}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{C}=\boldsymbol{\Lambda}$，并写出 $\boldsymbol{\Lambda}$。

1. 若有平方项，应将平方项与其交叉项配成完全平方；若没有平方项，应作可逆线性变换 $\begin{cases} x_1=y_1+y_2\\ x_2 = y_1 - y_2\\ x_3 = y_3 \end{cases}$，使其出现平方项，然后再配完全平方。
2. 当总的平方项的个数小于变量数目时，应当补齐，如 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_2+x_3)^2+0x_3^2$。

通过配方法可以得到：

1. 所做的可逆线性变换
2. 与 $\boldsymbol{A}$ 合同的对角矩阵
3. 二次型（或 $\boldsymbol{A}$）的秩
4. 正、负惯性指数
5. 是否正定

5.2 用正交变换化二次型为标准形

• 用正交变换化二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$ 为标准形并求所作的正交变换。
• 用矩阵语言表述为：设 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \\ \end{bmatrix}$，求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使得 $\boldsymbol{Q}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{A}\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{\Lambda}$，并写出对角矩阵 $\boldsymbol{\Lambda}$。

1. 求 $\boldsymbol{A}$
2. 求特征矩阵和特征向量
3. 正交化（如果需要的化）、规范化

1. $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\sum\limits_{i=1}^na_{ii},\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} \end{vmatrix}=\prod\limits_{i=1}^n\lambda_i$；
2. 当 $\lambda_i \ne \lambda_j,i \ne j$ 时，$(\boldsymbol{\xi}_i,\boldsymbol{\xi}_j)=0$。

• 正交变换只能化二次型为标准形，不能化为规范形（除非特征值都属于 $\{1,-1,0\}$。
• 正交变换不唯一，但是标准形却是唯一的，求的特征值后即可得到标准形为 $\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\cdots+\lambda_ny_n^2$。

6 惯性定理

• 无论选取什么样的可逆线性变换，将二次型化成标准形或规范形，其正项个数 $p$，负项个数 $q$ 都是不变的，$p$ 称为正惯性指数，$q$ 称为副惯性指数。
• 若二次型的秩为 $r$，则 $r=p+q$，合同变换不改变正、负惯性指数。
• 两个二次型（或实对称矩阵）合同的充要条件是有相同的正负惯性指数或有相同的秩及正（或负）惯性指数。