【CF Contest-1251 E2】Voting (Hard Version)【貪心】

題意：

一共 $n$ 個人，每個人有兩個屬性，$m_i$、$p_i$，表示收買此人的兩種方式，一種方式是花 $p_i$ 的錢，另一種方式是已經收買了 $m_i$ 個人，現詢問收買所有人的最小花費。$(1\leq n\leq 2*10^5,1\leq p_i\leq 10^9,0\leq m_i\leq n-1)$

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思路：

比賽時看到了此題，第一思路是貪心。當時的貪心策略是先把一定要付錢的人都找出來，即對於第 $i$ 層來說，$n-sz[i]<sz[i]$，即第 $i$ 層的人需要用錢收買，邊收買邊判斷 $n-sz[i]+cnt<sz[i]-cnt$ 是否成立，成立則繼續收買。然後再將第 $0$ 層的人直接算到所有人集合中，接下來每次選取花費最少的人收買，並且收買完後看是否有一層的人可以被集體收買。

這樣貪心不對。主要原因在於每次選取花費最少的人不一定最優，因爲可能選取花費次小的但是必定需要收買的人，然後花費最少的人所在的層就直接被集體收買了。因此最大的問題就在於沒有處理好在貪心的過程中，有一些人變成了必須花錢才能收買，而這種策略沒有收買。

因此我們需要換一種策略，每次選人將所有必須花錢的人找出來，並且在這些人中選取花費最小的。

我們可以將所有人按 $m$ 分層，再倒着枚舉層數，枚舉到第 $i$ 層時，就將第 $i$ 層的人加入小根堆中，將所有必須付錢的人從堆中彈出。

於是問題就變成了枚舉到第 $i$ 層時，堆中最多有多少人。不難發現答案爲 $n-i$ 人，因爲想要集體收買該層需要 $i$ 人，所以隊列中最多有 $n-i$ 人，至此即可完成此題。

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總結：

貪心問題，最忌諱的就是有一個不成熟的想法就馬上去實現，然後實現了半天之後還 $wa$ 了… 這會對比賽結果產生很大的負面影響。

因此貪心問題，考慮到一個策略之後，一定要反覆 $hack$ 自己，並且要嘗試去證明該策略的正確。這一過程其實花不了太多的時間，最多 $10min$ 左右就可以發現問題，而且有利於進一步完善思路。因此想要策略之後一定要再多想想，切忌盲目切題！

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代碼：

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define rep(i,a,b) for(int i = a; i <= b; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = a; i >= b; i--)
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
typedef long long ll;
typedef double db;
const int N = 2e5+100;
const db EPS = 1e-9;
using namespace std;

void dbg() {cout << "\n";}
template<typename T, typename... A> void dbg(T a, A... x) {cout << a << ' '; dbg(x...);}
#define logs(x...) {cout << #x << " -> "; dbg(x);}

int n,m,p;
vector<int> v[N];
priority_queue<int> q;

int main()
{
	int _; scanf("%d",&_);
	while(_--){
		scanf("%d",&n);
		rep(i,0,n) v[i].clear();
		rep(i,1,n) scanf("%d%d",&m,&p), v[m].push_back(p);
		while(q.size()) q.pop();
		ll ans = 0;
		per(i,n,0){
			for(auto& tp:v[i]) q.push(-tp);
			while(q.size() > n-i) ans -= q.top(), q.pop();
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}